Stochastik: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Hans-Otto Georgii

Chapter 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit - all with Video Answers

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Chapter Questions

Problem 1

In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die im Falle eines Einbruchs mit Wahrscheinlichkeit $0.99$ die Polizei alarmiert. In einer Nacht ohne Einbruch wird mit Wahrscheinlichkeit $0.002$ Fehlalarm ausgelöst (z. B. durch eine Maus). Die Einbruchswahrscheinlichkeit für eine Nacht beträgt $0.0005 .$ Die Anlage hat gerade Alarm gegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Einbruch im Gange?

Sandro Maludze

Numerade Educator

02:15

Problem 2

Gefangenenparadox. In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene Anton, Brigitte und Clemens. Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleiche Chance hatten, wurde eine(r) der Gefangenen begnadigt. Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von $1 / 3$ hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte und Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ,,Brigitte". Nun kalkuliert Anton: „Da entweder ich oder Clemens überleben werden, habe ich eine Überlebenswahrscheinlichkeit von $50 \% .$ " Würden Sie dem zustimmen? (Nehmen Sie bei der Konstruktion des Wahrscheinlichkeitsraumes an, dass der Wärter mit gleicher Wahrscheinlichkeit,,Brigitte" oder ,,Clemens" antwortet, falls er weiß, dass Anton der Begnadigte ist.)

Liuxi Sun

Numerade Educator

00:36

Problem 3

Sie fliegen von München nach Los Angeles und steigen dabei in London und New York um. An jedem Flughafen, inklusive München, muss Ihr Koffer verladen werden. Dabei wird er mit Wahrscheinlichkeit $p$ fehlgeleitet. In Los Angeles stellen Sie fest, dass Ihr Koffer nicht angekommen ist. Berechnen Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten dafür, dass er in München bzw. London bzw. New York fehlgeleitet wurde. (Wie immer: Zur vollständigen Lösung gehört die Angabe des Wahrscheinlichkeitsmodells.)

Samuel Smith

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Problem 4

Beta-Binomial-Darstellung der Pólya-Verteilung. Betrachten Sie das Pólya'sche Urnenmodell zu den Parametern $s, w, c \in \mathbb{N}$. Sei $S_{n}$ die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln nach $n$ Ziehungen. Zeigen Sie mit Hilfe der Rekursionsgleichung (2.23):
$$
P\left(S_{n}=\ell\right)=\int_{0}^{1} d p \beta_{s / c, w / c}(p) \mathscr{B}_{n, p}(\{\ell\})
$$
für alle $0 \leq \ell \leq n$. (Das Pólya-Modell ist also äquivalent zu einem Urnenmodell mit Zurücklegen, bei dem das Verhältnis von schwarzen und weißen Kugeln zuvor vom „,Schicksal" gemäß einer Beta-Verteilung festgelegt wurde.)

Victor Salazar

Numerade Educator

01:19

Problem 5

Sei $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B, C \in \mathscr{F}$. Zeigen Sie:
(a) Sind $A, B$ unabhängig, so auch $A, B^{c}$.
(b) Sind $A, B, C$ unabhängig, so auch $A \cup B, C$.

Himanshu Kushwaha

Numerade Educator

03:53

Problem 6

In der Zahlentheorie bezeichnet man als Euler'sche $\varphi$-Funktion die Abbildung $\varphi: \mathbb{N} \rightarrow$ $\mathbb{N}$ mit $\varphi(1)=1$ und $\varphi(n)=$ Anzahl der zu $n$ teilerfremden Zahlen in $\Omega_{n}=\{1, \ldots, n\}$ falls $n \geq 2 .$ Zeigen Sie: Ist $n=p_{1}^{k_{1}} \cdots \cdots_{m}^{k_{m}}$ die Primfaktorzerlegung von $n$ in paarweise verschiedene Primzahlen $p_{1}, \ldots, p_{m}$ und Potenzen $k_{i} \in \mathbb{N}$, so gilt
$$
\varphi(n)=n\left(1-\frac{1}{p_{1}}\right) \ldots\left(1-\frac{1}{p_{m}}\right)
$$
(Betrachten Sie die Ereignisse $A_{i}=\left\{p_{i}, 2 p_{i}, 3 p_{i}, \ldots, n\right\}, 1 \leq i \leq m$ in $\Omega$.)

Mengchun Cai

Numerade Educator

01:21

Problem 7

Ein System besteht aus vier gleichartigen, voneinander unabhängigen Komponenten. Es funktioniert, wenn $(A$ und $B)$ oder $(C$ und $D$ ) funktionieren.

Die Funktionsdauer des Gesamtsystems werde mit $T$, die der einzelnen Komponenten mit $T_{k}$, $k \in\{A, B, C, D\}$ bezeichnet. $T_{k}$ sei exponentialverteilt zum Parameter $\alpha .$ Zeigen Sie, dass
$$
P(T<t)=\left(1-e^{-2 \alpha t}\right)^{2}
$$

Gaurav Kalra

Numerade Educator

00:53

Problem 8

Beim zweimaligen Wurf mit einem fairen Tetraeder-Würfel, dessen Flächen mit $1,2,3$, 4 beschriftet seien, bezeichne $X$ die Summe und $Y$ das Maximum der jeweils unten liegenden Augenzahl.
(a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung $P \circ(X, Y)^{-1}$ von $X$ und $Y$.
(b) Konstruieren Sie zwei Zufallsvariablen $X^{\prime}$ und $Y^{\prime}$ über einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum $\left(\Omega^{\prime}, \mathscr{F}^{\prime}, P^{\prime}\right)$ mit denselben Verteilungen wie $X$ und $Y$ (d. h. $P \circ X^{-1}=$ $\left.P^{\prime} \circ X^{\prime-1}, P \circ Y^{-1}=P^{\prime} \circ Y^{\prime-1}\right)$, für die jedoch $X^{\prime}+Y^{\prime}$ eine andere Verteilung besitzt als $X+Y$.

Hast Aggarwal

Numerade Educator

05:19

Problem 9

Seien $X, Y$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in $\mathbb{Z}_{+} .$Es gelte entweder
(a) $P(X=k \mid X+Y=n)=1 /(n+1)$ für alle $0 \leq k \leq n$, oder
(b) $P(X=k \mid X+Y=n)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) 2^{-n}$ für alle $0 \leq k \leq n$.
Bestimmen Sie die Verteilung von $X$ (und also auch $Y$ ).

Joseph David

Numerade Educator

24:15

Problem 10

Münzwurfparadox. Anton sagt zu Brigitte: , Du denkst dir zwei zufällige ganze Zahlen $X, Y \in \mathbb{Z}$ mit $X<Y$. Dann wirfst du eine faire Münze. Wenn sie Zahl zeigt, nennst du mir$Y$, andernfalls $X$. Ich muss dann raten, ob die Münze Zahl oder Wappen gezeigt hat. Wenn ich richtig rate, zahlst du mir $£ 100$, sonst kriegst du $£ 100$ von mir" Soll sich Brigitte auf das Spiel einlassen? (Immerhin steht es ihr ja frei, gemäß welcher Verteilung $\beta$ sie $(X, Y)$ wählen will, und die Chancen, das Ergebnis des Münzwurfs richtig zu erraten, stehen doch wohl bestenfalls 50:50.) Betrachten Sie dazu folgende Ratestrategie von Anton: Anton wählt eine Zähldichte $\alpha$ auf $\mathbb{Z}$ mit $\alpha(k)>0$ für alle $k \in \mathbb{Z}$ und denkt sich eine zufällige Zahl $Z \in \mathbb{Z}$ mit Verteilung $\alpha$. Er tippt auf ,Münze hat Zahl gezeigt", wenn die von Brigitte genannte Zahl größer oder gleich $Z$ ist, sonst auf, ,Wappen". Präzisieren Sie das stochastische Modell und berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Anton bei gegebenem $\alpha$ und $\beta$.

Sid Wan

University of Louisville

00:47

Problem 11

Würfelparadox. Zwei Würfel $W_{1}$ und $W_{2}$ seien wie folgt beschriftet:
$$
W_{1}: 633333, \quad W_{2}: 555222
$$
Anton und Brigitte würfeln mit $W_{1}$ bzw. $W_{2}$. Wer die höhere Augenzahl erzielt, hat gewonnen.
(a) Zeigen Sie, dass Anton die besseren Gewinnchancen hat; wir schreiben dafür $W_{1} \succ W_{2}$.
(b) Brigitte bemerkt dies und schlägt Anton vor: „Ich beschrifte jetzt einen dritten Würfel. Du darfst dir dann einen beliebigen Würfel aussuchen, ich wähle mir einen der beiden anderen." Kann Brigitte den dritten Würfel so beschriften, dass sie in jedem Fall die besseren Gewinnchancen hat (d. h. so dass $W_{1} \succ W_{2} \succ W_{3} \succ W_{1}$, also die Relation $\succ$ nicht transitiv ist)?

Mishal Gul

Numerade Educator

03:30

Problem 12

Faltung von Gamma- und negativen Binomialverteilungen. Zeigen Sie:
(a) Für $\alpha, r, s>0$ gilt $\Gamma_{\alpha, r} \star \Gamma_{\alpha, s}=\Gamma_{\alpha, r+s} .$
(b) Für $p \in] 0,1\left[\right.$ und $r, s>0$ gilt $\overline{\mathscr{B}} r, p \star \overline{\mathscr{B}}_{s, p}=\overline{\mathscr{B}}_{r+s, p} .$ (Die Pólya-Verteilung liefert eine nützliche Identität für negative Binomialkoeffizienten.)

Khoobchandra Agrawal

Numerade Educator

00:47

Problem 13

Faltung von Cauchy-Verteilungen (Huygens-Prinzip). Betrachten Sie die Situation von Aufgabe $2.5$ und zeigen Sie: Für $a, b>0$ gilt $c_{a} \star c_{b}=c_{a+b}$. M.a.W.: Die Verteilung des Lichts auf einer Geraden im Abstand $a+b$ von der Glühbirne ist dieselbe, wie wenn jeder Lichtpunkt auf der Geraden im Abstand $a$ als neue, gleichmäßig in alle Richtungen strahlende Lichtquelle aufgefasst wird.
(Überzeugen Sie sich zuerst von der Gültigkeit der Partialbruchzerlegung
$$
c_{a}(y) c_{b}(x-y) / c_{a+b}(x)=\frac{b}{a+b} \frac{x^{2}+b^{2}-a^{2}+2 x y}{x^{2}+(a-b)^{2}} c_{a}(y)+\frac{a}{a+b} \frac{x^{2}+a^{2}-b^{2}+2 x(x-y)}{x^{2}+(a-b)^{2}} c_{b}(x-y)
$$
und benutzen Sie, dass $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x-n}^{x+n} z c_{a}(z) d z=0$ für alle $x$.)

Joseph Liao

Numerade Educator

01:45

Problem 14

Ausdünnung einer Poisson-Verteilung. Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter $\lambda$. Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden
Eier schlüpfe mit Wahrscheinlichkeit $p$ eine Larve. Berechnen Sie die Verteilung der Anzahl der Larven

Sohini Lahiri

Numerade Educator

04:57

Problem 15

Ausdünnung eines Poisson-Prozesses. Sei $\alpha>0,\left(L_{i}\right)_{i \geq 1}$ eine Folge von unabhängigen, zum Parameter $\alpha$ exponentialverteilten Zufallsvariablen, sowie $T_{k}=\sum_{i=1}^{k} L_{i}, k \geq 1$ Sei ferner $\left(X_{k}\right)_{k \geq 1}$ eine (von den $L_{i}$ unabhängige) Bernoulli-Folge zum Parameter $\left.p \in\right] 0,1[.$ Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen
$$
N_{t}^{X}:=\sum_{k \geq 1} X_{k} 1_{] 0, t]}\left(T_{k}\right), \quad t \geq 0
$$
bilden einen Poisson-Prozess zum Parameter $p \alpha .$ Insbesondere ist $T_{1}^{X}:=\inf \left\{t>0: N_{t}^{X} \geq 1\right\}$ exponentialverteilt zum Parameter $p \alpha$.

Hunza Gilgit

Numerade Educator

02:12

Problem 16

Bernoulli-Folge als diskretes Analogon des Poisson-Prozesses.
(a) Sei $\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Bernoulli-Folge zu $\left.p \in\right] 0,1[$ sowie
$$
T_{0}=0, \quad T_{k}=\inf \left\{n>T_{k-1}: X_{n}=1\right\}, \quad L_{k}=T_{k}-T_{k-1}-1
$$
für $k \geq 1$. $\left(T_{k}\right.$ ist der Zeitpunkt des $k$-ten Erfolgs, und $L_{k}$ ist die Wartezeit zwischen dem $(k-1)$-ten und dem $k$-ten Erfolg.) Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen $\left(L_{k}\right)_{k \geq 1}$ sind unabhängig und geometrisch verteilt zum Parameter $p$.
(b) Seien $\left(L_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhängige, zum Parameter $\left.p \in\right] 0,1$ [ geometrisch verteilte Zufallsvariablen. Für $k \geq 1$ sei $T_{k}=\sum_{i=1}^{k} L_{i}+k$ sowie für $n \geq 1$
$$
X_{n}=\left\{\begin{array}{l}
1 \text { falls } n=T_{k} \text { für ein } k \geq 1 \\
0 \text { sonst. }
\end{array}\right.
$$
Zeigen Sie: Die Zufallsvariablen $\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}$ bilden eine Bernoulli-Folge zu $p .$

Mohamed Raafat Mohamed

Numerade Educator

06:28

Problem 17

Seien $X, Y$ unabhängige, zu einem Parameter $\alpha>0$ exponentialverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die Verteilungsdichte von $X /(X+Y)$.

Sajin Shajee

Numerade Educator

03:41

Problem 18

Telegrafenprozess. Sei $\left(N_{t}\right)_{t \geq 0}$ ein Poisson-Prozess zur Intensität $\alpha>0$ sowie $Z_{t}=$ $(-1)^{N_{t}}$. Zeigen Sie: $P\left(Z_{s}=Z_{t}\right)=\left(1+e^{-2 \alpha(t-s)}\right) / 2$ für $0 \leq s<t$.

Sheryl Ezze

Numerade Educator

02:11

Problem 19

Sei $\left(S_{t}\right)_{t \geq 0}$ der Compound-Poisson-Prozess zu einer Sprungverteilung $Q$ und Intensität $\alpha>0$. Zeigen Sie: Für festes $t>0$ hat $S_{t}$ die Verteilung
$$
Q_{t}:=e^{-\alpha t} \sum_{n \geq 0} \frac{(\alpha t)^{n}}{n !} Q^{\star n}
$$
Dabei sei $Q^{\star 0}=\delta_{0}$ die Dirac-Verteilung im Punkte $0 .$

Ameer Said

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Problem 20

3.20. Konstruktion des Poisson-Punktprozesses in $\mathbb{R}^{d} .$ Sei $\Lambda \subset \mathbb{R}^{d}$ eine Borelmenge mit $0<\lambda^{d}(\Lambda)<\infty$ und $\alpha>0 . N_{\Lambda}$ sei Poisson-verteilt zum Parameter $\alpha \lambda^{d}(\Lambda)$, und $\left(X_{k}\right)_{k \geq 1}$ seien gleichverteilt auf $\Lambda$. Die Familie $\left(N_{\Lambda}, X_{1}, X_{2}, \ldots\right)$ sei unabhängig. Für jede Borelmenge $B \subset \Lambda$ bezeichne $N_{B}$ die Anzahl der $i \leq N_{\Lambda}$ mit $X_{i} \in B:$
$$
N_{B}=\sum_{i=1}^{N_{\Lambda}} 1_{B}\left(X_{i}\right)
$$
Zeigen Sie: $N_{B}$ ist eine Zufallsvariable, und für jede Zerlegung $\Lambda=\bigcup_{i=1}^{n} B_{i}$ von $\Lambda$ in disjunkte Borelmengen $B_{i} \in \mathscr{B}_{\Lambda}^{d}$ sind die Zufallsvariablen $\left(N_{B_{j}}\right)_{1 \leq j \leq n}$ unabhängig und Poisson-verteilt zum Parameter $\alpha \lambda\left(B_{j}\right)$.

Verwenden Sie entweder die obige Konstruktion oder die aus Beispiel (3.38) zur Simulation des Poisson-Punktprozesses in einem Rechteck $\Lambda \subset \mathbb{R}^{2}$.

Victor Salazar

Numerade Educator

01:28

Problem 21

Box-Muller Methode zur Simulation normalverteilter Zufallsvariabler. Seien $U, V$ unabhängige, auf ]0, $1[$ gleichverteilte Zufallsvariablen, sowie $R=\sqrt{-2 \log U}, X=$ $R \cos (2 \pi V), Y=R \sin (2 \pi V) .$ Zeigen Sie: $X, Y$ sind unabhängig $\mathcal{N}_{0,1}$-verteilt. (Berechnen Sie zuerst die Verteilungsdichte von $R$ und benutzen Sie dann die PolarkoordinatenTransformation von Doppelintegralen.)

Narayan Hari

Numerade Educator

01:32

Problem 22

Ausfallzeiten. Bestimmen Sie wie folgt die zufällige Funktionsdauer eines Drahtseils (oder irgendeines anderen technischen Geräts). Für $t>0$ sei $F(t):=P(] 0, t])$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil im Zeitintervall $] 0, t]$ reißt. $P$ besitze eine Dichtefunktion $\rho .$ Die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Seilriss im (differentiellen) Zeitintervall $[t, t+d t[$, wenn es vorher noch nicht gerissen ist, betrage $r(t) d t$ für eine stetige Funktion $r:[0, \infty[\rightarrow[0, \infty[$. $r$ heißt die Ausfallratenfunktion. Leiten Sie aus diesem Ansatz eine Differentialgleichung zur Bestimmung von $\rho$ her. Welche Verteilung ergibt sich im Fall konstanter Ausfallrate $r$ ? Im Fall $r(t)=\alpha \beta t^{\beta-1}$ mit Konstanten $\alpha, \beta>0$ ergibt sich die sogenannte Weibull-Verteilung mit Dichtefunktion
$$
\varrho(t)=\alpha \beta t^{\beta-1} \exp \left[-\alpha t^{\beta}\right], \quad t>0
$$

Mahipal Kumawat

Numerade Educator

00:55

Problem 23

Bestimmen Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße $P$ auf $[0, \infty[$ mit folgender Eigenschaft: Ist $n \in \mathbb{N}$ beliebig und sind $X_{1}, \ldots, X_{n}$ unabhängige Zufallsvariablen mit identischer Verteilung $P$, so hat die Zufallsvariable $n \min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ ebenfalls die Verteilung $P$. Stellen Sie dazu als erstes eine Gleichung für $\bar{F}(t):=P(] t, \infty[)$ auf.

Nicholas Ma

Numerade Educator

01:36

Problem 24

Seien $Y_{k}, k \geq 1,[0, \infty[$-wertige Zufallsvariablen über einem Wahrscheinlichkeits$\operatorname{raum}(\Omega, \mathscr{F}, P)$. Entscheiden Sie (mit Begründung), welche der folgenden Ereignisse in der asymptotischen $\sigma$-Algebra $\mathscr{A}\left(Y_{k}: k \geq 1\right)$ liegen:
$$
\begin{aligned}
&A_{1}=\left\{\sum_{k \geq 1} Y_{k}<\infty\right\}, \quad A_{2}=\left\{\sum_{k \geq 1} Y_{k}<1\right\} \\
&A_{3}=\left\{\inf _{k \geq 1} Y_{k}<1\right\}, \quad A_{4}=\left\{\liminf _{k \rightarrow \infty} Y_{k}<1\right\}
\end{aligned}
$$

Nick Johnson

Numerade Educator

01:27

Problem 25

Sei $\left(X_{k}\right)_{k \geq 1}$ eine Bernoulli-Folge zu $\left.p \in\right] 0,1\left[.\right.$ Für $n, l \in \mathbb{N}$ bezeichne $A_{n}^{l}$ das Ereignis $\left\{X_{n}=X_{n+1}=\cdots=X_{n+l-1}=1\right\} .$ Zeigen Sie: Die Folge $\left(X_{k}\right)_{k \geq 1}$ enthält mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich viele Einser-Serien der Länge $\geq l$, d. h. $P\left(A^{l}\right)=1$ für $A^{l}=\lim \sup _{n \rightarrow \infty} A_{n}^{l} .$ Folgern Sie hieraus, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 sogar jeweils unendlich viele Einser-Serien beliebiger Länge vorkommen: $P\left(\bigcap_{l \in \mathbb{N}} A^{l}\right)=1$.

Carson Merrill

Numerade Educator

00:56

Problem 26

Oszillationen der einfachen symmetrischen Irrfahrt, vgl. Aufgabe 2.7. Seien $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhängige, auf $\{-1,1\}$ gleichverteilte Zufallsvariablen und $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}, n \geq 1$. Zeigen Sie, dass für alle $k \in \mathbb{N}$
$$
P\left(\left|S_{n+k}-S_{n}\right| \geq k \text { für unendlich viele } n\right)=1
$$Schließen Sie hieraus, dass $P\left(\left|S_{n}\right| \leq m\right.$ für alle $\left.n\right)=0$ für jedes $m$, und weiter (unter Verwendung der Symmetrie der $X_{i}$ ), dass
$$
P\left(\sup _{n \geq 1} S_{n}=\infty, \inf _{n \geq 1} S_{n}=-\infty\right)=1
$$

Raj Bala

Numerade Educator