Sind $f=a_{m} t^{m}+\ldots+a_{0}, g=b_{n} t^{n}+\ldots+b_{0} \in K[t]$ Polynome mit $\operatorname{deg} f=m, \operatorname{deg} g=n$, so ist die Resultante von $f$ und $g$ definiert durch
$$
\left.\operatorname{Res}_{f, g}:=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccccc}
a_{0} & & \cdots & \cdots & & a_{m} & & \\
& \ddots & & & & & \ddots & \\
& & a_{0} & & \cdots & \cdots & & a_{m} \\
b_{0} & \cdots & \cdots & b_{n} & & & & \\
& & & & b_{0} & \cdots & \cdots & b_{n}
\end{array}\right)\right\} n \text { Zeilen }
$$
Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i) $\operatorname{Res}_{f, g}=0$
ii) $f, t f, \ldots, t^{n-1} f, g, t g, \ldots, t^{m-1} g$ sind linear abhängig.
iii) Es existieren $p, q \in K[t], p, q \neq 0$, mit deg $p \leq n-1, \operatorname{deg} q \leq m-1$ und $p f=q g$
Mit etwas Teilbarkeitstheorie von Polynomen kann man zeigen, dass i) bis iii) äquivalent sind $z u$
iv) $f$ und $g$ haben einen gemeinsamen nichtkonstanten Teiler $h \in K[t]$.
Insbesondere ist also $\operatorname{Res}_{f, g}=0$, falls $f$ und $g$ eine gemeinsame Nullstelle haben, und im Fall $K=\mathbb{C}$ gilt: $\operatorname{Res}_{f, g}=0 \Leftrightarrow f$ und $g$ haben eine gemeinsame Nullstelle.