Chapter Questions
Sei $f \in C(X)$ und $X_{0}:=\left\{x \in X: f(x) \neq 0 ; \neq 0 .\right.$ Zeige, daß dic Funktion $1 / f: X_{0} \rightarrow \mathbf{R}$ stetig ist.
Satz von Dini Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum. und die Folge der $f_{n} \in C(X)$ strebe monoton gegen $f \in C(X)$. Dann ist dic Konvergenz notwendigerweise gleichmäßig auf $X$. Hinweis: Gehe den Beweis des Satzes $108.1$ durch.
Sei $X$ ein kompakter metrischer Raum, Dann ist jedes $f \in C(X)$ sogar gleichmäBig stetig. d.h., zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein $\delta>0$, so daß für alle $x, y \in X$ mit $d(x, y)<\delta$ stets $|f(x)-f(v)|<e$ susfallt.
Sei $X$ ein metrischer Raum. Eine Familie ?? reellwertiger Funktionen auf $X$ heißt gleichstetig, wenn es zu jedem $r>0$ ein $\delta>0$ gibt, so daß fur alle $f \in \mathbb{8}$ und alle $x, y \in X$ mit $d(x, y)<\delta$ stets $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ bleibt. Gehe den Beweis des Satzes $106.2$ von Arzelà-Ascoli durch (wobei A $157.2$ heranzuziehen ist) und zeige:
Sei $X$ ein topologischer Raum und $C_{n}(X)$ die Menge aller reellwertigen Funktionen, die auf $X$ stetig und beschränkt sind. Zeige, daß $C_{n}(X)$ eine Funktionenalgebra ist, die mittels der Norm $\|f\|,:=\sup _{x=X}|f(x)|$ eine Banachalgebra wird.
Jeder metrische Raum $X$ kann als Teil der in Aufgabe 5 definierten Banachalgebra $C_{n}(X)$ aufgefaßt werden, genauer: $X$ ist isometrisch zu einer Teilmenge von $C_{h}(X)$. Ein kompakter metrischer Raum $X$ ist infolgedessen isometrisch zu einer Teilmenge von $C(X)$. Hinweis: A $109.8$ und A $158.9$.
Die Sätze $159.1$ bis $159.4$ gelten auch dann, wenn man unter $C(X)$ die Menge aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$ versteht - sofern man nur von all den Aussagen absieht, in denen Ordnungsbegriffe vorkommen (wic etwa Maximum, $f^{\text {' }}$ usw.).
Formuliere und beweise die dem Satz $159.5$ entsprechende Fassung des komplexen Satzes von Stone-Weierstraß (Satz $116.1)$.