Chapter 176, Differentiation komplexer Funktionen Video Solutions, Lehrbuch der Analysis

Problem 1

Man best?tige durch direkte Rechnung, daB die Real- und Imaginärteile der folgenden Funktionen $f$ auf ganz $\mathbf{C}$ den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (176.4) gent. gen:
a) $f(z)=z^{2}$
b) $f(z) ;=z^{3}$
c) $f(z)=\mathrm{e}^{2}$

Anurag Kumar

Numerade Educator

05:52

Problem 2

$f$ sei holomorph auf $G$ und $f(\zeta) \neq 0$ fur cin gewisses $\zeta \in G$. Dann gibt es cine offene Um. gebung $W \subset G$ von $\zeta$ und eine offene Umgebung $V$ von $\omega:=f(\zeta)$, so daB $f$ die Umgebung $W$ bijektiv auf $V$ abbildet. Die Umkehrung g: $V \rightarrow W$ der auf $W$ eingeschr?nkten Funktion $f$ is holomorph auf $V$, und ihre Ableitung in $\omega$ wird gegeben durch
$$
g^{\prime}(\omega)=\frac{1}{f^{\prime}(g(\omega))}=\frac{1}{f^{\prime}(\zeta)}
$$

Gaurav Kalra

Numerade Educator

02:08

Problem 3

Ist $f$ holomorph auf $G$ und $f^{\prime}(z)$ dort ständig $\neq 0$, so ist $f$ eine offene Abbildung. Ist $G$ sogat ein Gebiet, so ist auch $f(G)$ ein Gebiet.

Aman Gupta

Numerade Educator

01:07

Problem 4

Ist $f$ holomorph auf $G$ und $f^{\prime}(z)$ dort st?ndig $\neq 0$, so besitzt die Funktion $|f|$ kein Maximum auf $G$ (vgl. den schärferen Satz 187.8). Ist $K:=\{z \in \mathbf{C}:|z-a| \leq r !$ irgendeine abgeschlossene Kreisscheibe in $\mathbf{C}$, so besitz z. B, die Funktion $z \rightarrow\left|\mathrm{e}^{7}\right|(z \in K)$ zwar ein Maximum auf $K$, dies wird aber niemals im Innern, sondern stets auf der Peripherie von $K$ angenommen.

Amrita Bhasin

Numerade Educator

09:32

Problem 5

Sind die Funktionen $f_{1}$ und $f_{2}$ auf dem Gebiet $G$ holomorph und stimmen ihre Ableitungea dort uberein, so unterscheiden sie sich nur um cine additive Konstante, d.h., es ist $f_{1}(z)=f_{2}(z)+c$ für alle $z \in G$ mit einem festen $c \in \mathbf{C}$. Hinweis: A 167,2 .

Jacquelyn Trost

Numerade Educator