Section 1
Funciones polinomiales
En los problemas 1 a 8 proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=x^3-3$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=-(x+2)^3$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=(x-2)^3+2$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=3-(x+2)^3$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=(x-5)^4$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=x^4-1$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=1-(x-1)^4$
Proceda como en el ejemplo 1 y use las transformaciones para bosquejar la gráfica de la función polinomial indicada.$y=4+(x+1)^4$
En los problemas 9 a 12 determine si la función polinomial indicada $f$ es par, impar o ni par ni impar. No haga la gráfica.$f(x)=-2 x^3+4 x$
Determine si la función polinomial indicada $f$ es par, impar o ni par ni impar. No haga la gráfica.$f(x)=x^6-5 x^2+7$
Determine si la función polinomial indicada $f$ es par, impar o ni par ni impar. No haga la gráfica.$f(x)=x^5+4 x^3+9 x+1$
Determine si la función polinomial indicada $f$ es par, impar o ni par ni impar. No haga la gráfica.$f(x)=x^3(x+2)(x-2)$
En los problemas 13 a 18 indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 13
Indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 14
Indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 15
Indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 16
Indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 17
Indique a qué función polinomial de $a$ ) a $f$ ) corresponde cada gráfica.a) $f(x)=x^2(x-1)^2$b) $f(x)=-x^3(x-1)$c) $f(x)=x^3(x-1)^3$d) $f(x)=-x(x-1)^3$e) $f(x)=-x^2(x-1)$f) $f(x)=x^3(x-1)^2$(Figure Cant Copy)FIGURA 3.1.14 Gráfica del problema 18
En los problemas 19 a 22, construya una función polinomial $f$ que tenga las propiedades dadas. No hay ninguna respuesta única.$f$ es de grado 4 , su gráfica es simétrica con respecto al eje $y$, y el punto de intersección $y$ es $(0,-6)$.
Construya una función polinomial $f$ que tenga las propiedades dadas. No hay ninguna respuesta única.$f$ es de grado 5,0 es un cero de multiplicidad 3 , su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Construya una función polinomial $f$ que tenga las propiedades dadas. No hay ninguna respuesta única.$f$ tiene cuatro ceros reales, 1 es un cero sencillo, -3 es un cero de multiplicidad 2 , se comportan como $y=-7 x^4$ para valores grandes de $|x|$.
Construya una función polinomial $f$ que tenga las propiedades dadas. No hay ninguna respuesta única.$f$ es de grado 6 , tiene cuatro ceros reales, 2 es un cero de multiplicidad 3 , se comportan como $y=2 x^6$ para valores grandes de $|x|, f(0)=8$.
En los problemas 23 a 44 proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^3-4 x$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=9 x-x^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=-x^3+x^2+6 x$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^3+7 x^2+12 x$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=(x+1)(x-2)(x-4)$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=(2-x)(x+2)(x+1)$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^4-4 x^3+3 x^2$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^2(x-2)^2$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=\left(x^2-x\right)\left(x^2-5 x+6\right)$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^2\left(x^2+3 x+2\right)$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=\left(x^2-1\right)\left(x^2+9\right)$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^4+5 x^2-6$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=-x^4+2 x^2-1$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^4-6 x^2+9$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^4+3 x^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x(x-2)^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x^5-4 x^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=(x-2)^5-(x-2)^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=3 x(x+1)^2(x-1)^2$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=(x+1)^2(x-1)^3$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=-\frac{1}{2} x^2(x+2)^3(x-2)^2$
Proceda como en el ejemplo 2 y trace la gráfica de la función polinomial $f$ indicada.$f(x)=x(x+1)^2(x-2)(x-3)$
La gráfica de $f(x)=x^3-3 x$ se ve en la FIGURA 3.1.20.a) Use la figura para obtener la gráfica de $g(x)=f(x)+2$.b) Usando sólo la gráfica que obtuvo en el inciso $a$ ), escriba la ecuación, en forma factorizada, de $g(x)$. Entonces compruebe, multiplicando los factores, que su ecuación de $g(x)$ es igual que $f(x)+2=x^3-3 x+2$.(Figure Cant Copy)
Deduzca una función polinomial $f$ del menor grado posible, cuya gráfica sea consistente con la de la fIGURA 3.1.21.
Calcule el valor de $k$ tal que $(2,0)$ sea un cruce de la gráfica con el eje de las $x$. La función es $f(x)=k x^5-x^2+5 x+8$.
Calcule los valores de $k_1$ y $k_2$ tales que las intersecciones con el eje $x$ de la gráfica de $f(x)$ $=k_1 x^4-k_2 x^3+x-4$ estén en $(-1,0)$ y $(1,0)$.
Calcule el valor de $k$ tal que el cruce con el eje $y$ de la gráfica de $f(x)=x^3-2 x^2+14 x$ $-3 k$ esté en $(0,10)$.
Se tiene la función polinomial $f(x)=(x-2)^{n+1}(x+5)$, donde $n$ es un entero positivo. ¿Para qué valores de $n$ la gráfica de $f$ toca, pero no cruza, al eje $x$ en $(2,0)$ ?
Se tiene la función polinomial $f(x)=(x-1)^{n+2}(x+1)$, donde $n$ es un entero positivo. ¿Para qué valores de $n$ la gráfica de $f$ cruza al eje $x$ en $(1,0)$ ?
Se tiene la función polinomial $f(x)=(x-5)^{2 m}(x+1)^{2 n-1}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos.a) ¿Para qué valores de $m$ la gráfica de $f$ cruza al eje $x$ en $(5,0)$ ?b) ¿Para qué valores de $n$ la gráfica de $f$ cruza al eje $x$ en $(-1,0)$ ?
En los problemas 53 y 54 aplique el teorema del valor intermedio para determinar si hay una raíz en la función $f$ dada en los intervalos indicados. No trace la gráfica.$f(x)=60 x^3-13 x^2-145 x-28 ; \quad[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2]$
Aplique el teorema del valor intermedio para determinar si hay una raíz en la función $f$ dada en los intervalos indicados. No trace la gráfica.$f(x)=8 x^4-23 x^3+23 x^2-26 x+15 ;[-1,0],[0,1],[1,2],[2,3]$
Construcción de una caja Se puede hacer una caja abierta con una pieza rectangular de cartón, quitando un cuadrado de longitud $x$ de cada esquina, y doblando los lados hacia arriba. Vea la FIGURA 3.1.22. Si el cartón mide $30 \mathrm{~cm}$ por $40 \mathrm{~cm}$, demuestre que el volumen de la caja resultante se determina mediante$$V(x)=x(30-2 x)(40-2 x) .$$Trace la gráfica de $V(x)$ de $x>0$. ¿Cuál es el dominio de la función $V$ ?(Figure Cant Copy)
Para conservar su forma, la caja del problema 55 necesita cinta adhesiva, o algún sujetador para las esquinas. Una caja abierta que se mantiene firme puede hacerse sacando un cuadrado de longitud $x$ de cada esquina de una pieza rectangular de cartón, cortando la línea llena y doblando en las líneas interrumpidas, que se ven en la FIGURA 3.1.23. Deduzca una función polinomial $V(x)$ que exprese el volumen de la caja resultante, si el cartón original mide $30 \mathrm{~cm}$ por $40 \mathrm{~cm}$. Trace la gráfica de $V(x)$ de $x>0$.(Figure Cant Copy)
Una copa cónica está hecha de una pieza circular de papel de un radio $R$, recortando un sector circular y luego juntando las orillas rayadas como se muestra en la FIGURA 3.1.24. Busque una función polinomial $V(h)$ que dé el volumen de la copa cónica en términos de su altura.
Un chorro de arena fluye desde la mitad superior del reloj cónico que se muestra en la FIGURA 3.1.25 hacia la mitad inferior con velocidad constante. Busque una función polinomial $V(h)$ que dé el volumen de la pila de arena del fondo. Suponga que la parte superior de la pila sea plana.
Examine la figura 3.1.5. A continuación, explique si pueden existir funciones polinomiales cúbicas que no tengan raíces reales.
Suponga que una función polinomial $f$ tiene tres raíces, $-3,2$ y 4 , y que el comportamiento en los extremos de su gráfica baja hacia la izquierda cuando $x \rightarrow-\infty$, y baja hacia la derecha cuando $x \rightarrow \infty$. Explique cuáles serían las ecuaciones posibles de $f$.
En los problemas 61 y 62, use una función graficadora para examinar la gráfica de la función polinomial indicada en los intervalos que se indican.$f(x)=-(x-8)(x+10)^2 ; \quad[-15,15],[-100,100],[-1000,1000]$
Use una función graficadora para examinar la gráfica de la función polinomial indicada en los intervalos que se indican.$f(x)=(x-5)^2(x+5)^2 ; \quad[-10,10],[-100,100],[-1000,1000]$