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Stochastik: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Hans-Otto Georgii

Chapter 5

Gesetz der großen Zahl und zentraler Grenzwertsatz - all with Video Answers

Educators

Chapter Questions

01:57

Problem 1

Die Ky Fan Metrik fĂŒr stochastische Konvergenz. FĂŒr zwei reelle Zufallsvariablen $X, Y$ auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum sei
$$
d(X, Y)=\min (\varepsilon \geq 0: P(|X-Y|>\varepsilon) \leq \varepsilon\}
$$
Zeigen Sie:
(a) Das Minimum wird wirklich angenommen, und $d$ ist eine Metrik auf dem Raum aller reellen Zufallsvariablen.
(b) FĂŒr jede Folge reeller Zufallsvariablen auf $\Omega$ gilt $Y_{n} \stackrel{P}{\longrightarrow} Y$ genau dann, wenn $d\left(Y_{n}, Y\right) \rightarrow 0$.

Ernest Castorena
Ernest Castorena
Numerade Educator
02:04

Problem 2

Sammelbilder. Betrachten Sie das Sammelbilder-Problem aus Aufgabe 4.20. Wieviele Produkte mĂŒssen Sie mindestens kaufen, damit Sie mit Wahrscheinlichkeit $\geq 0.95$ die komplette Serie von $N=20$ Bildem bekommen? Geben Sie mit Hilfe der CebyĆĄev-Ungleichung eine möglichst gute untere Schranke an.

Joseph Lentino
Joseph Lentino
Numerade Educator
05:23

Problem 3

Ein Tierchen bewegt sich auf folgende Weise zufÀllig in einer Ebene: Es lÀuft eine Streckeneinheit weit in einer zufalligen Richtung $\Psi_{1}$, sucht sich dann eine neue Richtung $\Psi_{2}$ und lÀuft wieder eine Streckeneinheit weit, usw. Hierbei seien die Winkel $\Psi_{i}$ unabhÀngig und gleichverteilt auf $[0,2 \pi]$. Es sei $D_{n}$ der Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und dem Aufenthaltsort nach dem $n$-ten Schritt. Berechnen Sie den Erwartungswert $\mathbb{E}\left(D_{n}^{2}\right)$.
(b) In der Mitte einer großen Ebene befinden sich zur Zeit $t=0$ genau 30 Tierchen, die sich auf die in (a) beschriebene Weise unabhĂ€ngig voneinander fortbewegen. Die Tierchen benötigen fĂŒr jeden Schritt eine Zeiteinheit. Bestimmen Sie zu jedem $n \geq 1$ ein (möglichst kleines) $r_{n}>0$ mit folgender Eigenschaft: Mit Wahrscheinlichkeit $\geq 0.9$ befinden sich zur Zeit $t=n$ mehr als 15 Tierchen in dem Kreis mit Radius $r_{n}$ um den Mittelpunkt der Ebene. (Bestimmen Sie zunĂ€chst ein $\delta>0$ mit der Eigenschaft: Ist $Z_{1}, \ldots, Z_{30}$ eine Bernoulli-Folge zu einem Parameter $p \geq \frac{1}{2}+8$, so ist $\left.P\left(\sum_{i=1}^{30} Z_{i}>15\right) \geq 0.9 .\right)$

Khoobchandra Agrawal
Khoobchandra Agrawal
Numerade Educator
00:51

Problem 4

Gro\betae Abweichungen" des empirischen Mittelwerts. Sei $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ eine Bemoulli-Folge zu $0<p<1$. Zeigen Sie, dass fĂŒr alle $p<a<1$ gilt:
$$
P\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \geq a\right) \leq e^{-n h(a ; p)}
$$
wobei $h(a ; p)=a \log \frac{a}{p}+(1-a) \log \frac{1-a}{1-p} .$ Zeigen Sie dazu zuerst, dass fĂŒr alle $s \geq 0$
$$
P\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \geq a\right) \leq e^{-n a s} \mathbb{E}\left(e^{s X_{1}}\right)^{n}
$$.

Raj Bala
Raj Bala
Numerade Educator
01:37

Problem 5

Gesetz der gro\betaen Zahl far Zufallsvariablen ohne Erwartungswert. Seien $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhÀngige identisch verteilte reellwertige Zufallsvariablen. Ihr Erwartungswert existiere nicht, d. h. $X_{i} \notin \mathscr{L}^{1} .$ Sei $a \in \mathbb{N}$ beliebig. Zeigen Sie:
(a) $P\left(\left|X_{n}\right|>a n\right.$ unendlich oft $)=1$. (Hinweis: Aufgabe 4.5.)
(b) Fur die Summen $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ gilt $P\left(\left|S_{n}\right|>a n\right.$ unendlich oft $)=1$ und deshalb $\lim \sup _{n \rightarrow \infty}\left|S_{n}\right| / n=\infty$ fast sicher
(c) Sind alle $X_{i} \geq 0$, so gilt sogar $S_{n} / n \rightarrow \infty$ fast sicher.

Jack Chen
Jack Chen
Numerade Educator
01:15

Problem 6

Erneuerung etwa von GlĂŒhbirnen. Seien $\left(L_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhĂ€ngige, identisch verteilte, nichtnegative Zufallsvariablen (mit endlichem oder unendlichem Erwartungswert). $L_{i}$ werde interpretiert als die , Lebensdauer" der $i$-ten Gluhbirne (die beim Durchbrennen sofort durch eine neue ersetzt wird). FĂŒr $t>0 \mathrm{sei}$
$$
N_{t}=\max \left\{N \geq 1: \sum_{i=1}^{N} L_{i} \leq t\right\}
$$
die Anzahl der bis zur Zeit $t$ verbrauchten GlĂŒhbirnen. Zeigen Sie: Es gilt $\lim _{t \rightarrow \infty} N_{t} / t=$ $1 / \mathbb{E}\left(L_{1}\right)$ fast sicher, dabei sei $1 / \infty=0 .\left(\operatorname{Im}\right.$ Fall $\mathbb{E}\left(L_{1}\right)=\infty$ brauchen Sie die vorige Aufgabe.) Was bedeutet dies Resultat im Fall des Poisson-Prozesses?

Sai Sai
Sai Sai
Numerade Educator
00:51

Problem 7

Sei $\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Folge unabhÀngiger, zu einem Parameter $\alpha>0$ exponentialverteilter Zufallsvariablen. Zeigen Sie: Fast sicher gilt
$$
\limsup _{n \rightarrow \infty} X_{n} / \log n=1 / \alpha \quad \text { und } \quad \liminf _{n \rightarrow \infty} X_{n} / \log n=0
$$.

Kian Manafi
Kian Manafi
Numerade Educator
08:00

Problem 8

Anton schlĂ€gt Brigitte das folgende Spiel vor: ,,Hier habe ich eine unfaire MĂŒnze, die Kopf mit Wahrscheinlichkeit $p \in] 1 / 3,1 / 2[$ zeigt. Du brauchst nur $\in 100$ Startkapital; jedes Mal, wenn die MĂŒnze Kopf zeigt, verdoppele ich dein Kapital, andernfalls musst du mir die HĂ€lfte deines Kapitals zahlen. $X_{n}$ bezeichne dein Kapital nach dem $n$-ten MĂŒnzwurf. Wie du leicht sehen kannst, gilt dann $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\left(X_{n}\right)=\infty . "$ Soll sich Brigitte auf dieses Spiel einlassen? ÜberprĂŒfen Sie dazu die Behauptung von Anton und zeigen Sie: $\lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}=0$ fast sicher.

Titus Dascalu
Titus Dascalu
Numerade Educator
01:01

Problem 9

Asymptotik des Polya-Modells. Betrachten Sie das Pólya'sche Urnenmodell aus Beispiel (3.14) zu den Parametern $s, w, c \in \mathbb{N}$. Sei $S_{n}$ die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln nach $n$ Ziehungen. Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe $3.4$ und dem Gesetz der großen Zahl:
(a) $S_{n} / n$ konvergiert in Verteilung gegen die Beta-Verteilung $\beta_{s / c, w / c}$.
(b) Was bedeutet dies fĂŒr das Langzeitverhalten der konkurrierenden Populationen? Betrachten Sie dazu die Falle
(i) $s<c>w$, (ii) $s>c<w$, (iii) $w<c<s$, (iv) $s=w=c$.

Narayan Hari
Narayan Hari
Numerade Educator
00:18

Problem 10

Geben Sie eine Folge von Zufallsvariablen in $\mathscr{L}^{2}$ an, fĂŒr welche weder das (schwache oder starke) Gesetz der großen Zahl noch der zentrale Grenzwertsatz gilt.

Darian Kaulahao
Darian Kaulahao
Numerade Educator
04:13

Problem 11

Macht entschlossener Minderheiten. An einer Wahl zwischen zwei Kandidaten $A$ und $B$ nehmen 1000000 WĂ€hler teil. Davon kennen 2000 Waahler den Kandidaten $A$ aus Wahlkampfveranstaltungen und stimmen geschlossen fur ihn. Die ubrigen 998000 Wahler sind mehr oder weniger unentschlossen und treffen ihre Entscheidung unabhĂ€ngig voneinander durch Werfen einer fairen MĂŒnze. Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit $p_{A}$ fĂŒr einen Sieg von Kandidat $A ?$

Susan Hallstrom
Susan Hallstrom
Numerade Educator
01:26

Problem 12

Lokale Normalapproximation von Poisson-Verteilungen. Sei $\lambda>0$ und $x_{n}(k)=$ $(k-\lambda n) / \sqrt{\lambda n} .$ Zeigen Sie: FĂŒr jedes $c>0$ gilt
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \max _{k \in \mathbb{Z}_{+}:\left|x_{n}(k)\right| \leq c}\left|\frac{\sqrt{\lambda n} \mathscr{P}_{\lambda n}(\{k\})}{\phi\left(x_{n}(k)\right)}-1\right|=0
$$.

AP
Andreas Papavassiliou
Numerade Educator
02:04

Problem 13

Asymptotik von $\Phi .$ Zeigen Sie: FĂŒr alle $x>0$ gilt die AbschĂ€tzung
$$
\phi(x)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right) \leq 1-\Phi(x) \leq \phi(x) \frac{1}{x}
$$
und daher die Asymptotik $1-\Phi(x) \sim \phi(x) / x$ fĂŒr $x \rightarrow \infty .$ (Vergleichen Sie die Ableitungen der Funktionen auf der linken und rechten Seite mit $\phi .$.)

Gideon Idumah
Gideon Idumah
Numerade Educator
07:43

Problem 14

No-Shows ". HĂ€ufig ist die Zahl der zu einem Flug erschienenen Passagiere geringer als die Zahl der Buchungen fĂŒr diesen Flug. Die Fluggesellschaft praktiziert daher das so genannte Überbuchen (d. h. sie verkauft mehr Tickets als Sitze vorhanden sind) mit dem Risiko, eventuell ĂŒberzĂ€hlige Passagiere mit Geld entschĂ€digen zu mĂŒssen. Nehmen Sie an, die Fluggesellschaft hat bei jedem mitfliegendem Fluggast Einnahmen von $a=300 \mathrm{E}$, fĂŒr jede ĂŒberzĂ€hlige Person jedoch einen Verlust von $b=500 \mathrm{E}$; nehmen Sie ferner an, dass jede Person, die einen Platz gebucht hat, unabhĂ€ngig mit Wahrscheinlichkeit $p=0.95$ zum Flug erscheint. Wieviele PlĂ€tze wĂŒrden Sie bei einem
(a) Airbus 319 mit $S=124$ SitzplÀtzen,
(b) Airbus 380 mit $S=555$ SitzplÀtzen
verkaufen, um den zu erwartenden Gewinn zu maximieren?
(Zeigen Sie zuerst: Ist $\left(X_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Bemoulli-Folge zu $p, S_{N}=\sum_{k=1}^{N} X_{k}$ sowie $G_{N}$ der Gewinn bei $N$ verkauften PlÀtzen, so gilt
$$
G_{N+1}-G_{N}=a 1_{\left.\mid S_{N}<S\right\}} X_{N+1}-b 1_{\left\{S_{N} \geq S\right\}} X_{N+1}
$$
Folgern Sie, dass $\mathbb{E}\left(G_{N+1}\right) \geq \mathbb{E}\left(G_{N}\right)$ genau dann, wenn $P\left(S_{N}<S\right) \geq b /(a+b)$, und verwenden Sie dann die Normalapproximation.)

Khoobchandra Agrawal
Khoobchandra Agrawal
Numerade Educator
03:30

Problem 15

SchÀtzen Sie wie folgt den Fehler einer Summe von gerundeten Zahlen ab. Die Zahlen $R_{1}, \ldots, R_{n} \in \mathbb{R}$ werden auf ganze Zahlen gerundet, d. h. dargestellt als $R_{i}=Z_{i}+U_{i}$ mit $Z_{i} \in \mathbb{Z}$ und $U_{i} \in[-1 / 2,1 / 2[.$ Die Abweichung der Summe der gerundeten Zahlen $\sum_{i=1}^{n} Z_{i}$ von der wahren Summe $\sum_{i=1}^{n} R_{i}$ ist $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} U_{i}$. Nehmen Sie an, die $\left(U_{i}\right)_{1 \leq i \leq n}$ seien unabhÀngige, auf $[-1 / 2,1 / 2[$ gleichverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes fur $n=100$ eine Schranke $k>0$ mit der Eigenschaft $P\left(\left|S_{n}\right|<k\right) \approx 0.95$.

Khoobchandra Agrawal
Khoobchandra Agrawal
Numerade Educator
01:13

Problem 16

Bei einer Werbeaktion eines Versandhauses sollen die ersten 1000 Einsender einer Bestellung eine Damen- bzw. Herrenarmbanduhr als Geschenk erhalten. Nehmen Sie an, dass sich beide Geschlechter gleichermaßen von dem Angebot angesprochen fĂŒhlen. Wieviele Damen- und wieviele Herrenarmbanduhren sollte das Kaufhaus vorrĂ€tig halten, so dass mit Wahrscheinlichkeit von mindestens $98 \%$ alle 1000 Einsender eine passende Uhr erhalten? Verwenden Sie (a) die Cebysev-Ungleichung, (b) die Normalapproximation.

Xiaomeng Zhang
Xiaomeng Zhang
Numerade Educator
01:52

Problem 17

Ein Unternehmen hat insgesamt $n=1000$ Aktien ausgegeben. Ihre Besitzer entscheiden sich bei jeder Aktie mit Wahrscheinlichkeit $0<p<1$ zum Verkauf der Aktie. Diese Entscheidung findet bei jeder Aktie unabhĂ€ngig statt. Der Markt kann $s=50$ Aktien aufnehmen, ohne daß der Kurs fĂ€llt. Wie groB darf $p$ höchstens sein, damit der Kurs mit einer Wahrscheinlichkeit von $90 \%$ nicht fallt?

Carly Stoner
Carly Stoner
Numerade Educator
02:07

Problem 18

Fehlerfortpflanzung bei transformierten Beobachtungen. Sei $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ eine Folge von unabhĂ€ngigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in einem Intervall $I \subset \mathbb{R}$ und existierender Varianz $v=\mathbb{V}\left(X_{i}\right)>0 .$ Sei $m=\mathbb{E}\left(X_{i}\right)$ und $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar mit $f^{\prime}(m) \neq 0$ und beschrĂ€nktem $f^{\prime \prime} .$ Zeigen Sie: FĂŒr $n \rightarrow \infty$ gilt
$$
\frac{\sqrt{n / v}}{f^{\prime}(m)}\left(f\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)-f(m)\right) \stackrel{\mathscr{L}}{\longrightarrow} \mathcal{N}_{0,1}
$$
(Verwenden Sie die Taylor-Entwicklung von $f$ im Punkt $m$ und schĂĄtzen Sie das Restglied mit der CebyĆĄev-Ungleichung ab.)

Linh Vu
Linh Vu
Numerade Educator
03:51

Problem 19

Brown'sche Molekularbewegung. Ein schweres Teilchen erfahre durch zufĂ€llige StöBe von leichten Teilchen pro Zeiteinheit eine zufallige Geschwindigkeitsumkehr, d. h. fĂŒr seine Ortskoordinate (in einer vorgegebenen Richtung) zur Zeit $t$ gelte $X_{t}=\sum_{i=1}^{\lfloor t\rfloor} V_{i}$ mit unabhĂ€ngigen Geschwindigkeiten $V_{i}$, wobei $P\left(V_{i}=\pm v\right)=1 / 2$ fĂŒr ein $v>0 .$ Geht man zu makroskopischen Skalen ĂŒber, so wird das Teilchen zur Zeit $t$ beschrieben durch die Zufallsvariable $B_{t}^{(\varepsilon)}=\sqrt{\varepsilon} X_{t / \varepsilon}$, wobei $\varepsilon>0 .$ Bestimmen Sie den Verteilungslimes $B_{t}$ von $B_{t}^{(\varepsilon)}$
fĂŒr $\varepsilon \rightarrow 0$ sowie dessen Verteilungsdichte $e_{t}$. Verifizieren Sie, dass diese Dichten mit einer geeigneten Diffusionskonstanten $D>0$ die WĂ€rmeleitungsgleichung
$$
\frac{\partial \varrho_{t}(x)}{\partial t}=-\frac{D}{2} \frac{\partial^{2} \varrho_{t}(x)}{\partial x^{2}}
$$
erfullen.

Khoobchandra Agrawal
Khoobchandra Agrawal
Numerade Educator
00:55

Problem 20

Stochastische versus Verteilungskomergenz. Seien $X$ und $X_{n}, n \geq 1$, reelle Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:
(a) $X_{n} \stackrel{P}{\longrightarrow} X$ impliziert $X_{n} \stackrel{\mathscr{L}}{\longrightarrow} X$.
(b) Die Umkehrung von (a) gilt im Allgemeinen nicht, wohl aber wenn $X$ fast sicher konstant ist.

NM
Nicholas Ma
Numerade Educator
00:55

Problem 21

Verteilungskonvergenz diskreter Zufallvariabler. Seien $X$ und $X_{n}, n \geq 1$, Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in $\mathbb{Z} .$ Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen:
(a) $X_{n} \stackrel{\mathscr{L}}{\longrightarrow} X$ fĂŒr $n \rightarrow \infty$
(b) $P\left(X_{n}=k\right) \rightarrow P(X=k)$ fĂŒr $n \rightarrow \infty$ und alle $k \in \mathbb{Z}$.
(c) $\sum_{k \in \mathbb{Z}}\left|P\left(X_{n}=k\right)-P(X=k)\right| \rightarrow 0$ fĂŒr $n \rightarrow \infty$.

NM
Nicholas Ma
Numerade Educator
25:36

Problem 22

Arcussinus-Gesetz. Betrachten Sie fur festes $N \in \mathbb{N}$ die einfache symmetrische Irrfahrt $\left(S_{j}\right)_{j \leq 2 N}$ aus Aufgabe 2.7. Sei $L_{2 N}=\max \left\{2 n \leq 2 N: S_{2 n}=0\right\}$ der Zeitpunkt des letzten Gleichstands beider Kandidaten vor Ende der AuszÀhlung. (Im allgemeinen Kontext spricht man vom letzten Besuch der Irrfahrt in 0 vor der Zeit $2 N$.) Zeigen Sie:
(a) FĂŒr alle $0 \leq n \leq N$ gilt $P\left(L_{2 N}=2 n\right)=u_{n} u_{N-n}$, wobei wieder $u_{k}=2^{-2 k}\left(\begin{array}{c}2 k \\ k\end{array}\right)$.
(b) FĂŒr alle $0<a<b<1$ gilt
$$
\lim _{N \rightarrow \infty} P\left(a \leq L_{2 N} / 2 N \leq b\right)=\int_{a}^{b} \frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}} d x
$$
d. h. $L_{2 N} / 2 N$ strebt in Verteilung gegen die Arcussinus-Verteilung aus Aufgabe 1.15. (Die Arcussinus-Verteilung gibt den Werten in der NĂ€he von 0 und 1 die gröBte Wahrscheinlichkeit, siehe Abbildung $2.3$ auf Seite 44. Es ist also relativ wahrscheinlich, dass ein Kandidat gleich am Anfang oder erst ganz am Schluss der AuszĂ€hlung in FĂŒhrung geht.)

MK
Musashi Koyama
Numerade Educator
02:18

Problem 23

Seien $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhÀngige standardnormalverteilte Zufallsvariablen und
$$
M_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right), \quad a_{n}=\sqrt{2 \log n-\log (\log n)-\log (4 \pi)}
$$
Zeigen Sie: Die Folge $a_{n} M_{n}-a_{n}^{2}$ konvergiert in Verteilung gegen das WahrscheinlichkeitsmaB $Q$ auf $\mathbb{R}$ mit Verteilungsfunktion
$$
F_{Q}(c)=\exp \left(-e^{-c}\right), \quad c \in \mathbb{R}
$$
$Q$ heißt die Doppelexponential-Verteilung und ist (als asymptotische Verteilung eines reskalierten Maximums) eine sogenannte Extremwert-Verteilung.

Aman Gupta
Aman Gupta
Numerade Educator
01:33

Problem 24

Seien $\left(X_{i}\right)_{i \geq 1}$ unabhÀngig und Cauchy-verteilt zum Parameter $a>0$ (vgl. Aufgabe 2.5), sowie $M_{n}=\max \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$. Zeigen Sie: $M_{n} / n$ konvergiert in Verteilung gegen eine Zufallsvariable $Y>0$, und $Y^{-1}$ hat eine (welche?) Weibull-Verteilung, siehe Aufgabe $3.22$. (Die inversen Weibull-Verteilungen bilden eine zweite Klasse von typischen ExtremwertVerteilungen.)

Hast Aggarwal
Hast Aggarwal
Numerade Educator