Grundwissen Mathematikstudium - Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen

Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich

Chapter 24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen - all with Video Answers

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Chapter Questions

Problem 1

Beweisen Sie, dass eine Menge $M \subseteq \mathbb{R}^{n}$ genau dann konvex ist, wenn alle Konvexkombinationen in $M$ sind, d. h.:
$$
\sum_{k=1}^{K} \lambda_{k} \boldsymbol{x}_{k} \in M
$$
für Elemente $\boldsymbol{x}_{k} \in M$ und $\lambda_{k} \in[0,1], k=1, \ldots, K, K \in \mathbb{N}$, mit $\sum_{k=1}^{K} \lambda_{k}=1$

Victor Salazar

Numerade Educator

01:24

Problem 2

Es seien $m, n \in \mathbb{N}, \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{m}$ und $c \in \mathbb{R}^{n}$ gegeben. Weiter sind
$$
\widehat{\boldsymbol{A}}=\left(\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\
\boldsymbol{c}^{\top} & 1
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{(m+1) \times(n+1)}
$$
und
$$
\widehat{\boldsymbol{b}}=\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{b} \\
0
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m+1}
$$
Zeigen Sie: $z$ ist eine Ecke der Menge
$$
M=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, \boldsymbol{x} \geq \mathbf{0}\right\}
$$
genau dann, wenn $\widehat{z}=\left(\begin{array}{c}z \\ -c^{\top} z\end{array}\right)$ eine Ecke von
$$
\widehat{M}=\left\{\widehat{\boldsymbol{x}}=\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{x} \\
y
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \widehat{\boldsymbol{A}} \widehat{\boldsymbol{x}}=\widehat{\boldsymbol{b}}, \boldsymbol{x} \geq \mathbf{0}\right\}
$$
ist.

Akshaya Rs

Numerade Educator

00:33

Problem 3

Betrachten Sie im Folgenden den durch die Ungleichungen
$$
\begin{aligned}
x_{1}+x_{2} & \leq 4 \\
x_{1}-x_{2} & \leq 2 \\
-x_{1}+x_{2} & \leq 2 \\
x_{1}, x_{2} & \geq 0
\end{aligned}
$$
gegebenen Polyeder.
(a) Bestimmen Sie grafisch die maximale Lösung $\widehat{x}$ der Zielfunktion $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}^{\bar{T}} \boldsymbol{x}$ mit dem Zielfunktionsvektor = $c=(1,0)^{T}$,
$\boldsymbol{c}=(0,1)^{T}$
(b) Wie muss der Zielfunktionsvektor $\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^{2}$ gew?hlt werden, damit alle Punkte der Kante
$$
\left\{\lambda(3,1)^{T}+\mu(1,3)^{T} \mid \lambda, \mu \in[0,1], \lambda+\mu=1\right\}
$$
des Polyeders zwischen den beiden Ecken $(3,1)^{T}$ und $(1,3)^{T}$ optimale Lösungen der Zielfunktion $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ sind?

Amrita Bhasin

Numerade Educator

07:24

Problem 4

Betrachten Sie den durch die konvexe Hülle der achten Einheitswurzeln $\boldsymbol{p}_{k}=\left(\cos \left(k \frac{\pi}{4}\right), \sin \left(k \frac{\pi}{4}\right)\right), k \in$ $\{0, \ldots, 7\}$ definierten Polyeder, d. h. die Menge
$$
P=\left\{\sum_{k=0}^{7} \lambda_{k} \boldsymbol{p}_{k} \mid \lambda_{0}, \ldots, \lambda_{7} \in[0,1], \sum_{k=0}^{7} \lambda_{k}=1\right\}
$$
(a) Zeichnen Sie den Polyeder.
(b) Durch die beiden GröBen $r>0$ und $\alpha \in \mathbb{R}$ wird ein Zielfunktionsvektor $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{c}(r, \alpha)=(r \cos \alpha, r \sin \alpha)^{T}$ und die zugehörige Zielfunktion $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{c}^{T} \boldsymbol{x}$ definiert. Beschreiben Sie für jede Ecke $\boldsymbol{p}_{k}, k \in\{0, \ldots, 7\}$, bei welcher Wahl von $r$ und $\alpha$ diese Ecke eine optimale Lösung des zugehörigen linearen Optimierungsproblems ist.

P Krishnamurthy

Numerade Educator

04:54

Problem 5

Geben Sie das duale Problem zum linearen Programm (P) mit
$$
\operatorname{Max} x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}
$$
unter den Nebenbedingungen $x_{i} \in \mathbb{R}, x_{1}-x_{2}-x_{3}=-2$, $x_{1}+x_{2} \leq 5$ und $x_{3} \geq 0$ an. Welche Aussage lässt sich damit über das primale Problem machen?

Jacquelyn Trost

Numerade Educator

03:58

Problem 6

Berechnen Sie eine Maximalstelle von $f: M \subseteq$ $\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$$
f(\boldsymbol{x})=x_{1} x_{2}
$$
und
$$
M=\left\{x \mid x_{1}+x_{2}=1\right\}
$$

Regina Hays

Numerade Educator

08:02

Problem 7

Gesucht ist das Maximum von
$$
x_{2}+3 x_{3}
$$
$$
\begin{aligned}
x_{1}+x_{2}+\quad x_{3} & \leq 6 \\
x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & \leq 4 \\
x_{1}, x_{2}, x_{3} & \geq 0
\end{aligned}
$$
Lösen Sie dieses Problem mit dem Simplex-Algorithmus.

Jacquelyn Trost

Numerade Educator

01:33

Problem 8

Das Beispiel von Beale: Wenden Sie die Phase II des Simplex-Algorithmus auf das Optimierungsproblem
$$
\text { Min }-\frac{3}{4} x_{1}+20 x_{2}-\frac{1}{2} x_{3}+6 x_{4}
$$
unter den Nebenbedingungen $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0$,
an. Nutzen Sie dabei die folgende Pivotisierungsstrategie: Pivotspalte wird die Spalte mit dem kleinsten Kosteneintrag $c_{j}<0$ und bei mehreren, diejenige mit kleinstem Index $j$. Die Pivotzeile ergibt sich aus dem kleinsten Quotienten $b_{i} / a_{i j}$ und bei Gleichheit, der Zeile mit kleinstem Index $i$.
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{4} x_{1}-8 x_{2}-x_{3}+9 x_{4} & \leq 0 \\
\frac{1}{2} x_{1}-12 x_{2}-\frac{1}{2} x_{3}+3 x_{4} & \leq 0 \\
x_{3} & \leq 1
\end{aligned}
$$

Lucas Finney

Numerade Educator

08:02

Problem 9

Betrachten Sie zu $n \in \mathbb{N}$ das folgende von $\mathrm{V}$. Klee und G.J. Minty eingeführte lineare Optimierungsproblem:
$$
\text { Min }-\sum_{k=1}^{n} 10^{n-k} x_{k}
$$
unter den Nebenbedingungen
$$
\begin{aligned}
2 \sum_{k=1}^{i-1} 10^{i-k} x_{k}+x_{i} & \leq 100^{i-1}, 1 \leq i \leq n \\
x_{1}, \ldots, x_{n} & \geq 0
\end{aligned}
$$
(a) Bestimmen Sie die optimale Lösung $\widehat{x}$ mithilfe des Simplex-Algorithmus im Fall $n=3$. Wählen Sie dabei als Pivotspalte stets die Spalte mit dem kleinsten Zielfunktionskoeffizienten.

Kann man im ersten Simplex-Schritt eine Pivotspalte so wählen, dass der Algorithmus schon nach einem Schritt die optimale Ecke liefert?
(b) Lösen Sie das lineare Optimierungsproblem für jedes $n \in \mathbb{N}$

Jacquelyn Trost

Numerade Educator

02:53

Problem 10

Berechnen Sie eine Lösung des linearen Optimierungsproblems
(P) $\quad \operatorname{Min} x_{1}-x_{2}$
unter den Nebenbedingungen $x_{1}+x_{2} \leq 3, x_{1}+2 x_{2} \geq 1$, $x_{1} \geq 0, x_{2} \in \mathbb{R}$

Nick Johnson

Numerade Educator

05:18

Problem 11

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $\beta \in \mathbb{R}$. eine Lösung des folgenden linearen Optimierungsproblems
(P) $\quad$ Min $-2 x_{1}+\beta x_{2}-x_{3}$
unter den Nebenbedingungen
$$
x_{1}-x_{2}+x_{3} \leq 1, \quad-3 x_{1}+x_{2} \leq \beta
$$
und $x_{i} \geq 0$ für $i=1,2,3$, wenn es eine Lösung gibt.

Robin Corrigan

Numerade Educator

06:22

Problem 12

Gesucht sind der maximale und der minimale Wert der Koordinate $x_{1}$ von Punkten $x \in D=A \cap B$, wobei A die Ebene
$$
A=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\right\}
$$
und $B$ das Ellipsoid
$$
B=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid \frac{1}{4}\left(x_{1}-1\right)^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}
$$
beschreiben.

Ryan Swift

Numerade Educator

05:28

Problem 13

Bestimmen Sie alle Punkte der Menge
$$
M=\left\{(x, y)^{\top} \in \mathbb{R}^{2} \mid(2-x) y^{2}=(2+x) x^{2}\right\}
$$
die den geringsten Abstand zum Punkt $(6,0)^{\top}$ besitzen, und geben Sie diesen Abstand an.

Brittany Knowlton

Numerade Educator

02:17

Problem 14

Finden Sie die Seitenlängen des achsenparallelen Quaders $Q$ mit maximalem Volumen unter der Bedingung, dass $Q \subseteq K$ in dem Kegel
$$
K=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{b^{2}} \leq\left(1-x_{3}\right)^{2}, 0 \leq x_{3} \leq 1\right\}
$$
mit $a, b>0$ liegt.

Bobby Barnes

University of North Texas

01:26

Problem 15

Beweisen Sie, dass ein nichtleeres Polyeder $M=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b}\right\} \in \mathbb{R}^{n}$ mit $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{m}$ genau dann keine Ecken besitzt, wenn es $\boldsymbol{x} \in M$ und $\boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\}$ gibt mit $\boldsymbol{x}+t \boldsymbol{r} \in M$ für alle $t \in \mathbb{R}$.

Jeyasree R T

Numerade Educator

03:43

Problem 16

Das Farkas-Lemma: Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem
$$
A x=b
$$
mit $\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^{m}$ genau dann keine Lösung $\boldsymbol{x} \geq 0$ besitzt, wenn das System
$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{y} \leq \mathbf{0}, \quad \boldsymbol{b}^{\top} \boldsymbol{y}>0
$$
eine Lösung $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{m}$ hat.

Urvashi Arora

Numerade Educator

00:55

Problem 17

Gegeben sind $m, n \in \mathbb{N}, \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ und $\boldsymbol{e}=$ $(1, \ldots, 1)^{\top} \in \mathbb{R}^{n} .$
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
- Es gibt $x \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{n} \operatorname{mit} x \neq 0$ und $A x=0$.
- Es gibt $x \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{\bar{n}} \operatorname{mit} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ und $\boldsymbol{e}^{\top} \boldsymbol{x}=1$.
(b) Beweisen Sie mit dem starken Dualitätssatz den Transpositionssatz von Gordan: Es gibt eine Lösung zu $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=$ 0 mit $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{n} \backslash\{0\}$ genau dann, wenn es kein $\boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{m}$ gibt mit $A^{\top} y<0$

Nicholas Ma

Numerade Educator

02:16

Problem 18

Angenommen $(\hat{x}, \hat{y})^{\top} \in \mathbb{R}^{2}$ ist Minimalstelle einer differenzierbaren Funktion $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ unter der Nebenbedingung $g(x, y)=0$ mit einer differenzierbaren Funktion $g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$, und es gilt $\frac{\partial g}{\partial y}(\hat{x}, \hat{y}) \neq 0$. Leiten Sie für diese Stelle $(\hat{x}, \hat{y})$ die Lagrange'sche Multiplikatorenregel durch implizites Differenzieren her.

Bahar Tehranipoor

Numerade Educator

07:12

Problem 19

Ist $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine symmetrische, positiv definite Matrix und sind $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^{n}$ mit $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}$, dann besitzt das Optimierungsproblem
(P) $\quad \operatorname{Min}_{x \in M} \boldsymbol{x}^{\top} \boldsymbol{Q} x+\boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{x}$
auf
$$
M=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid \boldsymbol{a}^{\top} \boldsymbol{x}=0\right\}
$$
genau eine Lösung. Zeigen Sie, dass der Minimalwert durch
$$
\min (\mathrm{P})=-\frac{1}{4} \boldsymbol{c}^{\top} \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{c}+\frac{1}{4} \frac{\left(\boldsymbol{a}^{\top} \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{c}\right)^{2}}{\boldsymbol{a}^{\top} \boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{a}}
$$

Nick Johnson

Numerade Educator

00:24

Problem 20

Die Funktion $f: Q \rightarrow \mathbb{R}$ mit $Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}:\right.$ $\left.x_{i}>0, i=1, \ldots, n\right\}$ ist definiert durch
$$
f(\boldsymbol{x})=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \ldots \cdot x_{n}}
$$
- Bestimmen Sie die Extremalstellen von $f$ unter der Nebenbedingung
$$
g(x)=x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}-1=0
$$
- Folgern Sie aus dem ersten Teil für $y \in Q$ die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel
$$
\sqrt[n]{y_{1} \cdot y_{2} \cdot \ldots \cdot y_{n}} \leq \frac{1}{n}\left(y_{1}+y_{2}+\ldots+y_{n}\right)
$$

Vikash Ranjan

Numerade Educator