Chapter 162, Partielle Ableitungen Video Solutions, Lehrbuch der Analysis

Problem 1

Berechne ohne den Satz $162.2 \mathrm{zu}$ benutzen alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktionen:
a) $f(x, y):=x^{3}-2 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4}+10$
b) $f(x, y):=\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{\prime \prime}$.
c) $f(x, y, z)=x y z \sin (x+y+z)$
d) $f(x, y, z):=\frac{x \mathrm{e}^{\prime}}{z}, \quad z \neq 0 .$

Bobby Barnes

University of North Texas

00:52

Problem 2

Sei $f(x, y)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ für $(x, y) \neq(0,0)$. Dann ist $\frac{\hat{c}^{2} f}{\bar{c} x^{2}}+\frac{\hat{\mathrm{}}^{2} f}{\mathrm{c} y^{2}}=0$

Vikash Ranjan

Numerade Educator

06:37

Problem 3

Sei $f(x, y, z):=\frac{1}{l x^{2}+y^{2}+z^{2}} \quad$ für $(x, y, z) \neq(0,0,0)$, Dann ist $\frac{\hat{\mathrm{c}}^{2} f}{\mathrm{c} x^{2}}+\frac{\mathrm{c}^{2} f}{\hat{\mathrm{c}} y^{2}}+\frac{\mathrm{c}^{2} f}{\hat{\mathrm{c}} z^{2}}=0$

Wasim Sher

Numerade Educator

06:12

Problem 4

Es kann $\partial^{2} f / \partial x \partial y \neq \partial^{2} f / \partial y \partial x$ sein. Sei
$$
f(x, y):=\left\{\begin{array}{cc}
x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0) \\
0 & \text { für }(x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
$$
Zeige: $\quad \frac{\partial f}{\partial x}(0, y)=-y \quad$ fur alle $y$ und $\frac{\bar{c}^{2} f}{c y \bar{c} x}(0,0)=-1$
$\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0)=x \quad$ fur alle $x$ und $\frac{\hat{c}^{2} f}{c x \partial y}(0,0)=1$

Matthys Marthinus

Numerade Educator

01:15

Problem 5

Die Bernoullische Gleichung der Strömungsmechanik (Daniel Bernoulli, 1738 ) verknüpft die Geschwindigkeit $v$ und den Druck $p$ innerhalb einer (idealen) Flussigkeit mit der Höhe $h$ der als schr?gstehend angenommenen Strömungsr?hre:
$\frac{1}{2} \rho v^{2}+p+\varrho \mathrm{g} h=$ const $\quad(\varrho$ die Flüssigkeitsdichte, $\mathrm{g}$ die Erdbeschleunigung).
Berechne die Änderungsraten der Geschwindigkeit, wenn man einer der Größen $p, h$ uindert und die andere festh?t.

Ajay Singhal

Numerade Educator

02:50

Problem 6

Der pulsatile Blutstrom in den Kapillaradern wird beschrieben durch
$$
V=\frac{\kappa \alpha t}{Q T}\left[\exp \left(-\frac{\alpha}{T} t\right)-\exp (-\alpha)\right] \quad(0<t<T)
$$
hierbei ist $V$ das Blutvolumen, $Q$ der Querschnitt der Kapillare. $T$ die Pcriode des Herzschlags, $t$ die Zeit: $\alpha$ und $\kappa$ sind körpereigene Parameter (s. Math. Biosciences 3 (1968) $205 \mathrm{ff}$ ). Bestimme die Ânderungsraten von $V$ bei Variation jeweils einer der Größen t. $Q, T$

Ajay Singhal

Numerade Educator

03:18

Problem 7

Sauerstoffverbrauch von Pelztieren $S$ sei der Sauerstoffverbrauch eines Pelztieres pro Minute, $T_{k}$ seine (innere) Korpertemperatur. $T_{s}$ die AuBentemperatur seines Pelzes und $G$ sein Gewicht. Messungen haben ergeben, daß
$S=\alpha \frac{T_{k}-T_{a}}{G^{2 / 3}} \quad(\alpha$ eine positive Konstante)
ist. Untersuche das Wachstumsverhalten von $S$, wenn man zwei der drei Gröben $T_{k} . T_{a}, G$ festh?lt und die dritte verändert.

Vivek Singh

Numerade Educator

00:57

Problem 8

Die Gleichung der schwingenden Saite (s. (132.1)): $f$ und $g$ seien zweimal differenzierbare Funktionen von $\mathbf{R}$ nach R. Setze $u(x, t):=f(x-\alpha t)+g(x+\alpha t)$ und zeige. dab gilt
$\frac{\mathrm{c}^{2} u}{\mathrm{c} t^{2}}=\alpha^{2} \frac{\mathrm{c}^{2} u}{\mathrm{c} x^{2}} \quad$ (Gleichung der schwingenden Saite).

Lucas Finney

Numerade Educator

04:44

Problem 9

Parallel geschaltete Widerstände Werden $n$ elektrische Widerstände $R_{1} \ldots . R_{n}$ parallel geschaltet, so wird der Gesamtwiderstand $R$ des Systems bestimmt durch die Gleichung $1 / R=1 / R_{1}+\cdots+1 / R_{n} .$ Drücke $\partial R / \partial R_{k}$ durch $R$ und $R_{i}$ aus.

Coleman Green

Numerade Educator

02:53

Problem 10

Zustandsgleichung idealer Gase Für cin ideales Gas mit Druck $P$, Volumen $V$ und abso. luter Temperatur $T$ gilt die Zustandsgleichung $P V=c T(c$ eine Konstante). Beweise fur ein 5olches Gas die Beziehung
$$
\frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P} \frac{\partial P}{\partial V}=-1
$$

Willis James

Numerade Educator

03:38

Problem 11

Zustandsgleichung realer Gase Für ein reales Gas mit Druck $P$, Molvolumen $V_{m}$ und absoluter Temperatur $T$ gilt die van der Waalssche Gleichung"
$$
\left(P+\frac{a}{V_{m}^{2}}\right)\left(V_{m}-b\right)=R T \quad(a, b, R \text { Konstanten })
$$
Beweise für ein solches Gas die Beziehung
$$
\frac{\hat{\mathrm{c}} V_{m}}{\mathrm{C} T} \frac{\mathrm{c} T}{\mathrm{O} P} \frac{\hat{\mathrm{P}} P}{\mathrm{C} V_{m}}=-1
$$

Khoobchandra Agrawal

Numerade Educator

03:15

Problem 12

Grenzproduktivität von Arbeit und Kapital Die Produktion $P$ einer Industrie hängt ab von der Arbeitsmenge $A$ und der Kapitalmenge $K: P=f(A, K)$. Man nennt $\partial P / \partial A$ bzw: \partialP/\partialK die Grenzproduktivität der Arbeit bzw. des Kapitals. In der Sprache der Wirtschaftswissenschaften ist die Grenzproduktivität der Arbeit derjenige Produktionszuwachs, den eine zusätzliche Arbeitseinheit bei gleichbleibender Kapitalausstatung erzeugt: entsprechend ist die Grenzproduktivit?t des Kapitals zu deuten. Nach der Produktionstheorie von Cobb und Douglas ( 1928$)$ ist in der Regel $P=c A^{\alpha} K^{\prime \prime}$. Eine Untersuchung der französischen Gasindustrie von Michel J. J. Verhulst führte zu dem Ergebnis, daß im letzten Quartal 1945 die Gesamtproduktion der kleineren bzw, der gröBeren Firmen proportional zu $A^{\text {axo }} K^{0,14}$ bzw. zu $A^{0.83} K^{0,16}$ war (Econometrica 16 (1948), 295-308), Bestimme die Grenzproduktivi. táten der . Kleinen" und der .Großen" und vergleiche sic.

Sriram Soundarrajan

Numerade Educator