Chapter 2, Stochastische Standardmodelle Video Solutions, Stochastik: Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Problem 1

Auf einer Tombola soll ein Glückslos gezogen werden. Die "Glücksfee" soll ein "Sonntagskind" sein. Wieviele Damen müssen mindestens anwesend sein, damit mit $99 \%$ iger Sicherheit eine an einem Sonntag geboren ist? Stellen Sie ein geeignetes Modell auf!

Elizabeth Finlayson

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03:43

Problem 1

Zur Bestimmung der Abhángigkeit der durch maligne Melanome verursachten Mortalität von der Intensität der Sonneneinstrahlung wurden für jeden Staat der USA die Mortalität (Todesfalle pro 10 Mio der weißen Bevolkerung von 1950 bis 1969) und der Breitengrad erfasst. Folgende Tabelle enthält die Daten für 7 Staaten:
Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade. Welche Mortalität würden Sie in Ohio (Breite $40^{\circ}$ ) erwarten?

Charles Carter

Numerade Educator

03:17

Problem 2

Gegeben sei ein System von $n$ ununterscheidbaren Teilchen, die sich in $N$ verschiedenen „Zellen" befinden können, von denen $N_{a}$ zum Energieniveau $a \in E$ gehören, $E$ eine endliche Menge. Bestimmen Sie unter der Annahme der Bose-Einstein-Verteilung die Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein festes Energiehistogramm $\vec{k}=\left(k_{a}\right)_{a \in E}$ einstellt.

Farhanul Hasan

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01:56

Problem 2

Autoregressives Modell. Zur Beschreibung zeitlicher Entwicklungen mit deterministischer Wachstumstendenz und zufalligen Störungen verwendet man oft das folgende autoregressive Modell (der Ordnung 1):
$$
X_{k}=\gamma X_{k-1}+\sqrt{v} \xi_{k}, \quad 1 \leq k \leq n
$$
Dabei sind $\gamma \in \mathbb{R}$ und $v>0$ unbekannte Parameter, $X_{0}, \ldots, X_{n}$ die Beobachtungen und $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$ unabhängige zufällige Störungen mit $\mathbb{E}\left(\xi_{k}\right)=0, \mathbb{V}\left(\xi_{k}\right)=1$. Machen Sie einen Ansatz für den quadratischen Fehler und bestimmen Sie den kleinste-Quadrate-Schätzer für $\gamma$. Ist dieser Schätzer erwartungstreu?

Ajay Singhal

Numerade Educator

00:57

Problem 3

Likelihood-Quotienten-Test im autoregressiven Modell. Betrachten Sie das autoregressive Modell aus Aufgabe $12.2 \mathrm{im}$ Fall von standardnormalverteilten Fehlervariablen $\xi_{k}$ und verschwindender Startvariablen $X_{0}=0 .$ Zeigen Sie:

Manik Pulyani

Numerade Educator

01:06

Problem 3

Betrachten Sie die Situation des Bertrand'schen Paradoxons und berechnen Sie die Verteilungsdichte des Abstands $X$ der zufalligen Sehne vom Kreismittelpunkt, falls
(a) der Mittelpunkt der Sehne auf der Einheitskreisscheibe gleichverteilt ist,
(b) der Winkel $\alpha$, unter dem die Sehne vom Kreismittelpunkt aus erscheint, auf $[0, \pi]$ gleichverteilt ist.

Raj Bala

Numerade Educator

03:54

Problem 4

Buffon'sches Nadelproblem (von G.-L.L. Comte de Buffon 1733 formuliert und 1777 ausführlich analysiert). Auf einer Ebene seien (unendlich viele) parallele Geraden im Abstand $a$ gezogen. Auf die Ebene werde rein zufällig eine Nadel der Länge $l<a$ geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft die Nadel eine Gerade? Stellen Sie ein geeignetes Modell auf! (Beschreiben Sie dazu die Lage der Nadel durch den Abstand ihres Mittelpunkts von der nächstgelegenen Geraden und einen geeigneten Winkel.)

Qudsiya Anis

Numerade Educator

08:58

Problem 5

Im Abstand $a>0$ von einer Geraden befindet sich eine Glühbime. Diese strahlt gleichmäßig in alle Richtungen, die die Gerade irgendwann treffen. $X$ bezeichne den Auftreffpunkt eines Lichtstrahls auf der Geraden. Zeigen Sie: $X$ hat die Verteilungsdichte $c_{a}(x)=a /\left(\pi\left(a^{2}+x^{2}\right)\right)$ auf $\mathbb{R}$. (Die zugehörige Verteilung heißt die Cauchy-Verteilung zum Parameter $a$.)

Sajin Shajee

Numerade Educator

00:59

Problem 6

In der Umgebung von 10 Kernkraftwerken werden je 100 (unabhängig ausgewählte) Personen auf eine bestimmte Krankheit hin untersucht, die im Bundesdurchschnitt bei $1 \%$ der Bevölkerung vorkommt. Es wird vereinbart, ein Kraftwerk als auffallig zu bezeichnen, falls unter den 100 Personen mindestens 3 dieses Krankheitsbild zeigen.
(a) Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens ein Kraftwerk auffallig wird, obwohl die Erkrankungswahrscheinlichkeit in der Umgebung aller 10 Kraftwerke gleich groß wie im Bundesdurchschnitt ist?
(b) Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines auffällig wird, obwohl die Erkrankungswahrscheinlichkeit in der Umgebung aller Kraftwerke $2 \%$ betraigt?

Varsha Aggarwal

Numerade Educator

07:58

Problem 7

Einfache symmetrische Irrfahrt. AmAbend eines Wahltags werden die Stimmen fur zwei konkurrierende Kandidaten $A$ und $B$ ausgez?hlt. Beide Kandidaten seien gleich beliebt, d. $h$. auf jedem Stimmzettel sei $A$ oder $B$ mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit $1 / 2$ angekreuzt; insgesamt gebe es $2 N$ Stimmen. Sei $X_{i}=1$ oder $-1$ je nachdem, ob die $i$-te Stimme für $A$ oder $B$ ist. Die Summe $S_{j}=\sum_{i=1}^{j} X_{i}$ gibt dann an, wie weit $A$ nach Auszählung von $j$ Stimmen vor $B$ führt (bzw. hinter $B$ zurückliegt). (Die Folge $\left(S_{j}\right)_{j \geq 1}$ heißt einfache symmetrische Irrfahrt.) Sei $1 \leq n \leq N$ und zur Abkurzung $u_{n}:=2^{-2 n}\left(\begin{array}{l}2 n \\ n\end{array}\right) .$ Prázisieren Sie das Modell und zeigen Sie:
(a) Für das Ereignis $G_{n}=\left\{S_{2 n}=0, S_{2 k} \neq 0\right.$ für $\left.1 \leq k<n\right\}$ (,,erster Gleichstand nach Auszählung von $2 n$ Stimmen") gilt
$$
P\left(G_{n}\right)=2^{-2 n+1}\left[\left(\begin{array}{c}
2 n-2 \\
n-1
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
2 n-2 \\
n
\end{array}\right)\right]=u_{n-1}-u_{n}
$$
Veranschaulichen Sie sich dazu die Folge $\left(S_{j}\right)_{j \leq 2 n}$ durch den Polygonzug durch die Punkte $\left(j, S_{j}\right)$, und stellen Sie eine Bijektion her zwischen den Polygonzigen von $(1,1)$ nach $(2 n-1,1)$, welche die horizontale Achse treffen, und den Polygonzügen von $(1,-1)$ nach $(2 n-1,1)$.
(b) Für das Ereignis $G_{>n}=\left\{S_{2 k} \neq 0\right.$ für $\left.1 \leq k \leq n\right\}$ (,,kein Gleichstand während der ersten $2 n$ Stimmen" ) gilt $P(G>n)=u_{n}$

Beth Stone

Numerade Educator

03:05

Problem 8

Das Intervall $[0,2]$ werde in zwei Teile zerlegt, indem in $[0,1]$ zufällig (gemäß der Gleichverteilung) ein Punkt markiert wird. Sei $X$ das Längenverhältnis $l_{1} / l_{2}$ der kürzeren Teilstrecke $l_{1}$ zur längeren Teilstrecke $l_{2}$. Berechnen Sie die Verteilungsdichte von $X$.

Bahar Tehranipoor

Numerade Educator

03:29

Problem 9

Das Genom der Taufliege Drosophila melanogaster gliedert sich in etwa $m=7000 \mathrm{Ab}$ schnitte (die anhand des Färbungsmusters der in den Speicheldrüsen befindlichen Riesenchromosomen erkennbar sind). Zur Vereinfachung sei angenommen, dass sich in jedem Abschnitt gleich viele, nämlich $M=23000$ Basenpaare befinden. Das Genom umfasst also $N=m M$ Basenpaare. Durch hochenergetische Bestrahlung werden $n=1000$ (rein zufällig verteilte) Basenpaare zerstört. Finden Sie ein stochastisches Modell für die Anzahl der zerstörten Basenpaare in allen Genomabschnitten. Berechnen Sie für jedes $1 \leq i \leq m$ die Verteilung der Anzahl $Z_{i}$ der zerstörten Basenpaare im Abschnitt $i$ und begründen Sie, dass $Z_{i}$ approximativ Poisson-verteilt ist.

Doruk Isik

Numerade Educator

00:55

Problem 10

Sei $E$ eine endliche Menge, $\varrho$ eine Zähldichte auf $E, n \in \mathbb{N}$, und $X=\left(X_{a}\right)_{a \in E}$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\widehat{\Omega}=\left\{\vec{k}=\left(k_{a}\right)_{a \in E} \in \mathbb{Z}_{+}^{E}: \sum_{a \in E} k_{a}=n\right\}$ und Multinomialverteilung $M_{n, \varrho} .$ Zeigen Sie: Für jedes $a \in E$ hat $X_{a}$ die Binomialverteilung $\mathscr{B}_{n, \varrho(a)}$

Hunza Gilgit

Numerade Educator

00:50

Problem 11

Anzahl der Fixpunkte einer zufälligen Permutation. An einer Theatergarderobe geben $n$ Personen ihre Mäntel ab. Wegen Stromausfalls werden nach der Vorstellung die Mäntel im Dunkeln in rein zufalliger Reihenfolge zuruckgegeben. Sei $X$ die zufallige Anzahl der Personen, die ihren eigenen Mantel zurück erhalten. Berechnen Sie die Verteilung von $X$, d. h. $P(X=k)$ fur jedes $k \geq 0$. Was geschieht im Limes $n \rightarrow \infty ?$ (Der Fall $k=0$ entspricht dem Rencontre-Problem aus Aufgabe 1.11. Verwenden Sie wieder Aufgabe 1.6.)

Hunza Gilgit

Numerade Educator

03:01

Problem 12

Banachs Streichholzproblem. Ein bekannter Mathematiker hatte in beiden Jackentaschen stets jeweils eine Schachtel mit Streichhölzern. Er bediente sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit links oder rechts. Wenn er zum ersten Mal eine Schachtel leer vorfand, ersetzte er beide Schachteln durch volle. Berechnen Sie die Verteilung der übrig gebliebenen Streichhölzer nach einem Durchgang (d. h. nach dem Vorfinden einer leeren Schachtel), wenn sich in jeder vollen Schachtel $N$ Streichhölzer befinden.

Carson Merrill

Numerade Educator

01:43

Problem 13

Gamma- und negative Binomialverteilung. Seien $r \in \mathbb{N}, \alpha>0, t>0,\left(p_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Folge in $] 0,1\left[\right.$ mit $n p_{n} \rightarrow \alpha$ und $\left(t_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Folge in $\mathbb{Z}_{+}$mit $t_{n} / n \rightarrow t$. Zeigen Sie, dass
$$
\left.\Gamma_{\alpha, r}(00, t]\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \bar{B}_{r, p_{n}}\left(\left\{0, \ldots t_{n}\right\}\right)
$$
und interpretieren Sie dies Ergebnis mit Hilfe von Wartezeiten. (Zeigen Sie zuerst, dass $\left.\overline{\mathcal{B}}_{r, p}(\{0,1, \ldots, m\})=\mathscr{B}_{r+m, p}(\{r, r+1, \ldots, r+m\}) .\right)$

Hast Aggarwal

Numerade Educator

00:31

Problem 14

Gamma- und Beta-Verteilung. In der Situation von Abschnitt 2.5.3 sei ( $\left.s_{n}\right)_{n \geq 1}$ eine Folge in $] 0, \infty\left[\right.$ mit $n / s_{n} \rightarrow \alpha>0$. Zeigen Sie: Für alle $r \in \mathbb{N}$ und $t>0$ gilt
$$
\left.\Gamma_{\alpha, r}(0, t]\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(s_{n} T_{r: n} \leq t\right)
$$
Was bedeutet diese Aussage in Hinblick auf zufällige Punkte auf der Zeitachse?

Nick Johnson

Numerade Educator

00:25

Problem 15

Affine Transformation von Normalverteilungen. Zeigen Sie: Ist $X$ eine reelle Zufallsvariable mit Normalverteilung $\mathcal{N}_{m, v}$ und sind $a, b \in \mathbb{R}$ mit $a \neq 0$, so hat die Zufallsvariable $a X+b$ die Verteilung $\mathcal{N}_{a m+b, a^{2} v}$.

Heather Zimmers

Numerade Educator

14:27

Problem 16

Zum Satz von Poincaré-Borel. Beweisen Sie die folgende Verschärfung von Satz (2.24): Bezeichnet $X_{i}: \Omega_{N} \rightarrow \mathbb{R}$ die Projektion auf die $i$-te Koordinate, so gilt für alle $k \in \mathbb{N}$ und alle $a_{i}, b_{i} \in \mathbb{R}$ mit $a_{i}<b_{i}$ für $1 \leq i \leq k$
$$
\lim _{N \rightarrow \infty} P_{N}\left(X_{i} \in\left[a_{i}, b_{i}\right] \text { für } 1 \leq i \leq k\right)=\prod_{i=1}^{k} \cdot N_{0, v}\left(\left[a_{i}, b_{i}\right]\right)
$$
d. h. die Projektionen sind aymptotisch unabh?ngig (im Sinne der spateren Definition in Abschnitt 3.3) und normalverteilt.

Ruirui Liu

Numerade Educator