Esboce o gráfico de f à mĩo e use seu esboco para encontrar...

Esboce o gráfico de $f$ à mĩo e use seu esboco para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de $f$. (Use os graficos $\mathrm{e}$ as transformaçôes das Seçbes 1.2 e 1.3.)

$f(x)=\ln x, \quad 0<x \leq 2$

Key Concepts

Análise de Extremos Locais e Absolutos

Em intervalos onde a função é monotônica, os extremos (máximos ou mínimos) ocorrem nos pontos finais do intervalo. No problema, a função atinge seu valor máximo absoluto em x = 2. Como o limite em x ? 0+ é -? e x = 0 não está incluído no domínio, não há valor mínimo absoluto, mas o comportamento limítrofe fornece informação sobre a tendência da função.

Monotonicidade

A função ln(x) é estritamente crescente em todo seu domínio, o que significa que valores maiores de x produzem valores maiores de f(x). Essa propriedade implica que não há pontos de máximo ou mínimo locais internos; os extremos nos intervalos fechados (ou semicerrados) ocorrem nos pontos de fronteira do domínio.

Função Logarítmica

Esta função, definida por f(x) = ln(x), é a inversa da função exponencial. Seu gráfico apresenta uma assíntota vertical em x = 0, passa pela coordenada (1, 0) e cresce lentamente à medida que x aumenta. Compreender as propriedades fundamentais do logaritmo é crucial para a análise da função.

Domínio e Considerações de Extremos de Função

O domínio da função ln(x) é (0, ?), mas no problema foi restringido a 0 < x ? 2. Analisar o comportamento da função neste intervalo é importante, especialmente porque, embora a função não esteja definida em x = 0, o limite quando x se aproxima de 0 tende a -?. Essa consideração é essencial para determinar os extremos da função no conjunto dado.

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