Seien $(G_1, *_1)$ und $(G_2, *_2)$ zwei Gruppen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(a) (3 Punkte) Das sogenannte direkte Produkt $(G_1 \times G_2, *)$ ist wieder eine Gruppe, wobei die Verknüpfung zweier
Elemente $(g_1, g_2), (h_1, h_2) \in G_1 \times G_2$ durch
$(g_1, g_2) * (h_1, h_2) := (g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2)$
definiert ist.
(b) (1 Punkt) Durch $\varphi_1((g_1, g_2)) := g_1$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\varphi_1: G_1 \times G_2 \to G_1$ gegeben.
Bemerkung: Ebenso ist durch $\varphi_2((g_1, g_2)) := g_2$ ein Gruppenhomomorphismus $\varphi_2: G_1 \times G_2 \to G_2$ gegeben, was
Sie hier aber nicht nachprüfen müssen.
(c) (4 Punkte) Sind eine weitere Gruppe $(H, \diamond)$ und zwei Gruppenhomomorphismen $\psi_1: H \to G_1$ und $\psi_2: H \to G_2$
gegeben, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\chi: H \to G_1 \times G_2$ mit $\varphi_1 \circ \chi = \psi_1$ und $\varphi_2 \circ \chi = \psi_2$.
Tipp: Zeigen Sie zunächst die Eindeutigkeit eines solchen Gruppenhomomorphismus, also dass es höchstens einen
Gruppenhomomorphismus $\chi$ mit den geforderten Eigenschaften geben kann. Schreiben Sie $\chi(h) \in G_1 \times G_2$ dazu
als $\chi(h) = (\chi_1(h), \chi_2(h))$.
