Give FO formulas that capture the following properties/predicates/relationships.
(a) The 2-place relation < is a linear order^2 without a largest element, the constant 0 is the smallest element of this order.
(b) Over the standard arithmetic structure N = (N, +, ·, <, 0, 1), the property of an element to be prime; and the theorem (true in this structure) that there are infinitely many primes.
(c) Using the standard structure R := (R, +, ·, <, 0, 1), extended by an additional 1-digit function symbol f:
(i) f is a strictly monotone function;
(ii) f grows indefinitely for x → ∞;
(iii) f has the limit 2^(½) for x → ∞;
^2: strict linear order has the properties trichotomy (for all elements a, b either a < b or b < a or a = b) and transitivity.
Geben Sie FO-Formeln an, die die folgenden Eigenschaften/Prädikate/Relationen erfassen:
(a) Die 2-stellige Relation < ist eine lineare Ordnung^2 ohne größtes Element, die Konstante 0 ist das kleinste Element bzgl. dieser Ordnung.
(b) Über der arithmetischen Standard-Struktur N = (N, +, ·, <, 0, 1) die Eigenschaft eines Elements Primzahl zu sein; sowie den (in dieser Struktur wahren) Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
(c) Über der um ein zusätzliches 1-stelliges Funktionssymbol f erweiterten Standard-Struktur R := (R, +, ·, <, 0, 1):
(i) f ist eine strikt monotone Funktion;
(ii) f wächst für x → ∞ unbeschränkt;
(iii) f hat für x → ∞ den Grenzwert 2^(½).
2Eine strenge lineare Ordnung hat die Eigenschaften Trichotomie (für alle Elemente a, b gilt entweder a < b oder b < a oder a = b) und Transitivität.
