1. Sea \( A=\{1,\{2,3\}\} \). Determine s铆 es cierto o falso.
- \( 2 \in A \wedge 3 \in A \)
- \( \{1,2,3\} \subseteq A \)
- \( A \subseteq \mathbb{N} \)
- \( \square \mathrm{S} A \)
- \( \{2\} \in A \wedge\{3\} \in A \)
- \( \{2,3\} \in A \)
- \( \{2,3\} \subseteq A \)
- \( \{\{2,3\}\} \subset A \)
2. Sea \( A=\left\{k \in \mathbb{Z} \mid k^{2}<81\right\}, B=\{k \in \mathbb{Z}|| k+1 \mid \leq 4\}, C=\left\{2^{k} \mid k \in \mathbb{N} \wedge k<4\right\} \). Encuentre lo siguiente:
- \( A \backslash(B \cup C) \)
- \( (A \cap C) \backslash B \)
3. Defina la relaci贸n binaria \( \mathcal{R}=\{(a, b):|a-b|<1\} \) en \( A=\mathbb{R} \). Demuestre que \( \mathcal{R} \) es reflexiva y sim茅trica, pero no transitiva.
4. Determine si las siguientes son relaciones de equivalencia. Si es relaci贸n de equivalencia, encuentre todas sus clases de equivalencia. Si no es relaci贸n de equivalencia, menione todas las propiedades (reflexividad, simetr铆a y transitividad) que no satisfacen y por qu茅 no se satisfacen.
- \( \mathcal{R}_{2}=\{(0,0),(1,1),(2,2),(2,1),(1,2)\} \)
- \( \mathcal{R}=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(1,3),(3,3),(3,1)\} \)
- \( \mathcal{R}=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),(5,5)\} \)
- \( \mathcal{R}=\{(1,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)\} \)
5. Demuestre que \( \mathcal{R}=\{(a, b) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: 2 \mid(a+b)\} \) es una relaci贸n de equivalencia en \( \mathbb{Z} \) y encuentre \( \mathbb{Z} / \mathcal{R} \).
6. Sea \( \sim \) una relaci贸n de equivalencia en \( \mathbb{R} \) definida como \( a \sim b \Longleftrightarrow a-b \in \mathbb{Z} \). Mencione tres elementos la clase de equivalencia de 6.2 m贸dulo \( \sim \).
7. Demuestre que \( \mathcal{R}=\{(a, b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a+4 b \equiv 0(\bmod 5)\} \) es una relaci贸n de equivalencia en \( \mathbb{N} \), y encuentre la clase de equivalencia de 6 m贸dulo \( \mathcal{R} \).
8. Reduzca los siguientes:
- \( (33)^{11}(29)^{9}(\bmod 31) \)
