Question 2
La sécurité ferroviaire est une des priorités du CN. Afin d'améliorer le processus d'inspection du réseau, l'entreprise a mis sur pied un projet d'utilisation de drones. Ces derniers sont munis d'une caméra haute définition à 360°, sont téléguidés et ont une autonomie pouvant aller jusqu'à plusieurs heures.
Un des avantages de ces appareils est de permettre aux inspecteurs d'examiner les infrastructures et les rails à des endroits plus difficiles d'accès, ce qui a comme conséquence de réduire de temps d'intervention sur le réseau.
L'entreprise aura justement l'occasion de tester ces drones, car l'est du Québec a été touché par une tempête de neige pendant la nuit. Le lendemain matin, on vous envoie, avec un inspecteur, dans la région touchée par la tempête, avec un drone et tout le matériel de surveillance requis.
Vous êtes responsable du pilotage à distance du drone. Puisque le chemin menant aux rails n'est pas praticable, vous devez vous arrêter au bord de la route principale pour installer votre matériel. C'est de cet endroit que vous ferez décoller le drone.
À partir de son point de départ, le drone suivra des trajectoires rectilignes représentées par les vecteurs $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$, $\vec{u_3}$, $\vec{u_4}$, $\vec{u_5}$, $\vec{u_6}$ et $\vec{u_7}$.
Puisque c'est vous qui pilotez, vous devez prévoir un plan de vol de manière à survoler les rails sur le secteur à inspecter. Pour faciliter le pilotage, il est suggéré de programmer à l'avance les paramètres de la trajectoire à suivre. Ces paramètres seront, en fait, les composantes des vecteurs que le drone suivra.
a) L'endroit où commence l'inspection est situé à 500 mètres à l'ouest et à 900 mètres au nord de votre point d'origine. De plus, l'inspection se fera à une altitude de 25 mètres. Pour atteindre cet endroit, le drone doit toutefois contourner une paroi rocheuse. Pour ce faire, il doit d'abord suivre un vecteur parallèle au vecteur $\vec{d_1} = (-28, 22, 1)$, puis un vecteur parallèle au vecteur $\vec{d_2} = (4, 7, 0)$.
Trouvez les constantes $k_1$ et $k_2$ telles que $k_1\vec{d_1} + k_2\vec{d_2} = (-500, 900, 25)$ et donnez les vecteurs résultants $\vec{u_1} = k_1\vec{d_1}$ et $\vec{u_2} = k_2\vec{d_2}$.
b) Une fois que le drone aura atteint la zone à inspecter, il devra suivre les trajectoires suivantes : $\vec{u_3} = (700, 500, 20)$, $\vec{u_4} = (450, -100, 10)$, $\vec{u_5} = (100, -200, -5)$ et $\vec{u_6} = (50, -1350, -10)$. Une fois l'inspection terminée, le drone devra retourner à son point d'origine en suivant une trajectoire rectiligne. Déterminez les composantes du vecteur $\vec{u_7}$ et la distance (au mètre près) qu'il restera à parcourir au drone pour revenir au point de départ.
c) Un imprévu survient vers la fin de l'inspection. Le froid affecte la durée de vie de la batterie du drone et vous réalisez que si vous ne le faites pas revenir plus tôt, il risque de tomber en panne avant d'avoir fait tout son trajet.
Vous avisez l'inspecteur que vous n'aurez d'autre choix que d'interrompre l'inspection avant la fin. Vous calculez que si vous faites revenir le drone après qu'il ait parcouru la moitié de la distance sur la dernière ligne droite ($\vec{u_6}$), la batterie devrait tenir le coup.
Quelles sont les composantes du vecteur $\vec{u_{6a}}$ qui permettront au drone de revenir à son point de départ suite à l'interruption de l'inspection?
Quelle distance restera-t-il à parcourir (donnez la réponse en arrondissant au mètre près)?
