Introdução a análise e processamento de sinais \( 1^{\circ} \) Lista de exercÃcios
1 - Expresse cada um dos números complexos na forma cartesiana:
\( \frac{1}{2} e^{i \pi}, \frac{1}{2} e^{-i \pi}, e^{i \pi / 2}, e^{i 5 \pi / 2}, \sqrt{2} e^{i 9 \pi / 4} \)
2 - Sabendo que \( z=x+i y=r e^{i \theta} \) e que \( \bar{z} \) denota o conjugado de \( z \), demonstre que:
a) \( z \bar{z}=r^{2} \)
b) \( \frac{z}{\bar{z}}=e^{i 2 \theta} \)
c) \( z+\bar{z}=2 x \)
d) \( z-\bar{z}=2 i y \)
e) \( \overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2} \)
f) \( \overline{\left(a z_{1} z_{2}\right)}=a \bar{z}_{1} \bar{z}_{2} \)
g) \( \overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\frac{\bar{z}_{1}}{\bar{z}_{2}} \)
h) \( \operatorname{Re}\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{z_{1} \bar{z}_{2}+\bar{z}_{1} z_{2}}{z_{2} \bar{z}_{2}}\right] \)
3 - Diga se as seguintes funções são periódicas ou não e se forem diga qual é o perÃodo.
a) \( \sin \left(\frac{2}{3} \pi t\right) \)
b) \( \sin \left(\frac{3}{4} \pi t\right) \)
c) \( \cos (10 t)+\sin (4 t) \)
d) \( \sin \left(\frac{2}{3} \pi t\right)+\sin \left(\frac{3}{4} \pi t\right) \)
e) \( \sin (2 \pi t)+\sin (\pi \sqrt{3} t) \)
4 - Faça o gráfico da derivada das seguintes funções.
a)
b)
c)
