Question

EXGRCICE 11: On considère les deux points \( A(1,-1,1) \) et \( B(5,1,-3) \). Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(3,0,-1) \) et de rayon \( R=3 \), et soit \( (\Delta) \) la droite passant par le point \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u}(2,-2,1) \). 1. a- Calculer la distance \( \Omega A \). b- Montrer que les droites \( (\Delta) \) et \( (\Omega A) \) sont perpendiculaires. c- Déduire la position relative de la droite \( (\Delta) \) et la sphère \( (S) \). 2. Soit le point \( M_{a}(2 a-3,3-2 a, a-1) \) où \( a \in \mathbb{R} \). Montrer que : \( \overrightarrow{A M}_{a}=(a-2) \vec{u} \), et déduire que \( M_{a} \in(\Delta) \) pour tout \( a \in \mathbb{R} \). 3. -a-Vérifier que \( 2 x-2 y+z-9 a+13=0 \) est une équation cartésienne du plan \( \left(P_{a}\right) \) passant par \( M_{a} \) et perpendiculaire à la droite \( (\Delta) \). b- Montrer que : \( d\left(\Omega,\left(P_{a}\right)\right)=|3 a-6| \). c- Déterminer les deux valeurs de \( a \) pour lesquelles le plan \( \left(P_{a}\right) \) est tangent à la sphère \( (S) \).

          EXGRCICE 11:
On considère les deux points \( A(1,-1,1) \) et \( B(5,1,-3) \).
Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(3,0,-1) \) et de rayon \( R=3 \), et soit \( (\Delta) \) la droite passant par le point \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u}(2,-2,1) \).
1. a- Calculer la distance \( \Omega A \).
b- Montrer que les droites \( (\Delta) \) et \( (\Omega A) \) sont perpendiculaires.
c- Déduire la position relative de la droite \( (\Delta) \) et la sphère \( (S) \).
2. Soit le point \( M_{a}(2 a-3,3-2 a, a-1) \) où \( a \in \mathbb{R} \). Montrer que :
\( \overrightarrow{A M}_{a}=(a-2) \vec{u} \), et déduire que \( M_{a} \in(\Delta) \) pour tout \( a \in \mathbb{R} \).
3. -a-Vérifier que \( 2 x-2 y+z-9 a+13=0 \) est une équation cartésienne du plan \( \left(P_{a}\right) \) passant par \( M_{a} \) et perpendiculaire à la droite \( (\Delta) \).
b- Montrer que : \( d\left(\Omega,\left(P_{a}\right)\right)=|3 a-6| \).
c- Déterminer les deux valeurs de \( a \) pour lesquelles le plan \( \left(P_{a}\right) \) est tangent à la sphère \( (S) \).

EXGRCICE 11:
On considère les deux points A(1,-1,1) et B(5,1,-3).
Soit (S) la sphère de centre Ω(3,0,-1) et de rayon R=3, et soit (Δ) la droite passant par le point A et de vecteur directeur u⃗(2,-2,1).
1. a- Calculer la distance Ω A.
b- Montrer que les droites (Δ) et (Ω A) sont perpendiculaires.
c- Déduire la position relative de la droite (Δ) et la sphère (S).
2. Soit le point Ma(2 a-3,3-2 a, a-1) où a ∈ℝ. Montrer que :
A Ma=(a-2) u⃗, et déduire que Ma∈(Δ) pour tout a ∈ℝ.
3. -a-Vérifier que 2 x-2 y+z-9 a+13=0 est une équation cartésienne du plan (Pa) passant par Ma et perpendiculaire à la droite (Δ).
b- Montrer que : d(Ω,(Pa))=|3 a-6|.
c- Déterminer les deux valeurs de a pour lesquelles le plan (Pa) est tangent à la sphère (S).

Added by Abder W.

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