EXGRCICE 11:
On considère les deux points \( A(1,-1,1) \) et \( B(5,1,-3) \).
Soit \( (S) \) la sphère de centre \( \Omega(3,0,-1) \) et de rayon \( R=3 \), et soit \( (\Delta) \) la droite passant par le point \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u}(2,-2,1) \).
1. a- Calculer la distance \( \Omega A \).
b- Montrer que les droites \( (\Delta) \) et \( (\Omega A) \) sont perpendiculaires.
c- Déduire la position relative de la droite \( (\Delta) \) et la sphère \( (S) \).
2. Soit le point \( M_{a}(2 a-3,3-2 a, a-1) \) où \( a \in \mathbb{R} \). Montrer que :
\( \overrightarrow{A M}_{a}=(a-2) \vec{u} \), et déduire que \( M_{a} \in(\Delta) \) pour tout \( a \in \mathbb{R} \).
3. -a-Vérifier que \( 2 x-2 y+z-9 a+13=0 \) est une équation cartésienne du plan \( \left(P_{a}\right) \) passant par \( M_{a} \) et perpendiculaire à la droite \( (\Delta) \).
b- Montrer que : \( d\left(\Omega,\left(P_{a}\right)\right)=|3 a-6| \).
c- Déterminer les deux valeurs de \( a \) pour lesquelles le plan \( \left(P_{a}\right) \) est tangent à la sphère \( (S) \).
