Kolokwium / Drgania i fale
DRGANIA
1. Oscylator harmoniczny prosty - równanie rózniczkowe ruchu i przyklad jego wyprowadzenie wzoru na okres T.
[6plat]
2. Masa m porusza się ruchem harmonicznym o równaniu \( x(t)=A \sin (\omega t+\varphi) \),
Wyznaczyc:
a. energię kinetyczną w funkcji czasu
b. energię potencjalną w funkcji czasu
c. wykazać, że całkowita energia oscylatora jest stala.
[6pkt)
3. Wyprowadzić wzór na okres drgań wahadła matematycznego (rysunek, analiza sit/momentów sif, równanie ruchu, itd.,)
(8pkt)
4. Składanie drgań harmonicznych w kierunkach równoległych.
Równania drgań składowych: \( x_{1}=A_{1} \cos \left(\omega t+\varphi_{1}\right), x_{2}=A_{2} \cos \left(\omega t+\varphi_{2}\right) \), gdzie \( A_{1}=1 \mathrm{~cm}, \quad A_{2}=2 \mathrm{~cm}, \quad \omega=1 \mathrm{~s}^{-1}, \quad \varphi_{1}=\pi / 3, \varphi_{2}=5 \pi / 6 \)
a. Narysować diagram wektorowy dla \( t=0 \).
b. Wyznaczyć amplitudę A i fazę \( \varphi \) drgania wypadkowego.
c. Napisać równanie drgania wypadkowego.
\( (6 \mathrm{pkt}) \)
5.a. Dwie sprężyny o współczynnikach sprężystości \( k_{1} \) i \( k_{2} \) połączono równolegle. Wyznaczyć współczynniki sprężystości \( k_{3} \) sprężyny zastępczej, jeżeli \( \mathrm{k}_{1}=2 \mathrm{k}_{2} \)
5.b. Dwie sprężyny o współzzynnikach sprężystości \( k_{1} \) i \( k_{2} \) połączono szeregowo.
Wyznaczyć współczynniki sprężystości \( \mathrm{k}_{3} \) sprężyny zastępczej, jeżeli \( \mathrm{k}_{1}=2 \mathrm{k}_{2} \)
(8pkt)
6. Drgania harmoniczne tłumione ma postać:
\[
x(t)=A e^{-\beta t} \cos (\omega t+\varphi)
\]
Wyznaczyć liczbę drgań \( N \), po których amplituda drgań tłumionych zmniejszyła się dwukrotnie. Logarytmiczny dekrement tłumienia \( \mathrm{D}=0.003 \).
(8pkt)