Question

H8.2: Abbildungsmatrix und Basiswechsel II (6 Punkte) Wir betrachten die lineare Abbildung $\Phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y+2z \ -4x+2y-2z \end{pmatrix}$ zischen den reellen Vektorräumen $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^2$. a) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $M_{E_3}^{A}(\Phi)$ von $\Phi$ bezüglich der Standardbasis $E_3$ vom reelen Vektor- raum $\mathbb{R}^3$ (definiert wie in Aufgabe G3) und der Basis $A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \right\}$ b) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Kern $ker(\Phi)$ und das Bild $\Phi(\mathbb{R}^3)$ von $\Phi$. Ist $\Phi$ injektiv? Ist $\Phi$ surjektiv? c) (1,5 Punkte) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren $b_1 := \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$, $b_2 := \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 2 \end{pmatrix}$, $b_3 := \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$ eine Basis des $\mathbb{R}^3$ bilden. Wir bezeichnen diese mit B. d) (1,5 Punkte) Finden Sie eine Basis C des Bildraums $\mathbb{R}^2$, sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt hat. $M_B^C(\Phi) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

          H8.2: Abbildungsmatrix und Basiswechsel II (6 Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung
$\Phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$,
$\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y+2z \ -4x+2y-2z \end{pmatrix}$
zischen den reellen Vektorräumen $\mathbb{R}^3$ und $\mathbb{R}^2$.
a) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $M_{E_3}^{A}(\Phi)$ von $\Phi$ bezüglich der Standardbasis $E_3$ vom reelen Vektor-
raum $\mathbb{R}^3$ (definiert wie in Aufgabe G3) und der Basis
$A = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix} \right\}$
b) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Kern $ker(\Phi)$ und das Bild $\Phi(\mathbb{R}^3)$ von $\Phi$. Ist $\Phi$ injektiv? Ist $\Phi$ surjektiv?
c) (1,5 Punkte) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren
$b_1 := \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$, $b_2 := \begin{pmatrix} 2 \ 0 \ 2 \end{pmatrix}$, $b_3 := \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$
eine Basis des $\mathbb{R}^3$ bilden. Wir bezeichnen diese mit B.
d) (1,5 Punkte) Finden Sie eine Basis C des Bildraums $\mathbb{R}^2$, sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt
hat.
$M_B^C(\Phi) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$H8.2: Abbildungsmatrix und Basiswechsel II (6 Punkte) Wir betrachten die lineare Abbildung Φ: ℝ^3 →ℝ^2, ↦ zischen den reellen Vektorräumen ℝ^3 und ℝ^2. a) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME3^A(Φ) von Φ bezüglich der Standardbasis E3 vom reelen Vektor- raum ℝ^3 (definiert wie in Aufgabe G3) und der Basis A = { , } b) (2 Punkte) Bestimmen Sie den Kern ker(Φ) und das Bild Φ(ℝ^3) von Φ. Ist Φ injektiv? Ist Φ surjektiv? c) (1,5 Punkte) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren b1 := , b2 := , b3 := eine Basis des ℝ^3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B. d) (1,5 Punkte) Finden Sie eine Basis C des Bildraums ℝ^2, sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt hat. MB^C(Φ) = $

Added by Laura H.

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